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DGL mit cos(x-y) lösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Skye89 aktiv_icon

18:10 Uhr, 06.01.2017

Hallo,
Ich stehe leider kolossal auf dem Schlauch.
folgende DGL möchte ich lösen:

y' = cos (x - y)

Ich hab es mit Variablentrennung,Substitution und Additionstheoremen versucht, aber nichts bringt mich zu einer Lösung bei der ich am Ende nach

y

auflösen kann.

Lg Skye, mathematisch unbegabt und sehr dankbar für Tipps

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:18 Uhr, 06.01.2017

Frag Wolfram:
www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3Dcos(x-y)

mihisu aktiv_icon

18:28 Uhr, 06.01.2017

Ich würde eine Substitution

z = x - y

ansetzen.
Das führt dann wegen

y = x - z

und

y^{'} = 1 - z^{'}

auf die folgende Differentialgleichung:

1 - z^{'} = cos (z)

Diese Gleichung lässt sich für

z \notin 2 π ℤ

in die Form

\frac{1}{1 - cos (z)} z^{'} = 1

bringen. Damit hat man eine Variablentrennung durchgeführt. Diese DGL solltest du nun lösen können. Anschließend erhält man mit

y = x - z

die Lösungen der ursprünglichen DGL.

\\\\

Als reelle Lösungen erhalte ich dann übrigens

y = x + 2 \cdot C_{3} \cdot a r c c o t (x + C_{1}) + 2 π \cdot C_{2}

mit Konstanten

C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℤ, C_{3} \in {0, 1}

Skye89 aktiv_icon

19:11 Uhr, 06.01.2017

Hallo,

vielen Dank für die Antworten.
Ich habe auch mit

x - y = z

substituirt und kam bis zu:

- cot (\frac{x - y}{2}) = x

Dank eurer Antworten weiß ich nun schonmal, dass dies nicht ganz verkehrt war, wie ich angenommen hatte.
Leider weis ich nun trotzdem nicht, wie ich

y

frestellen kann.

Wolfram ist ja super praktisch :-D) danke, wird sofort gespeichert!

ledum aktiv_icon

19:34 Uhr, 06.01.2017

Hallo
auflösen mit der Umkehrfunktion von

cot,

wie eigentlich immer üblich.
Gruß ledum

mihisu aktiv_icon

19:43 Uhr, 06.01.2017

Zunächst einmal können sich die beiden Seiten der Gleichung noch um eine Integrationskonstante unterscheiden, welche umgekehrt beim Ableiten wieder verschwinden würde. Also:

- cot (\frac{x - y}{2}) = x + C_{1}

für ein

C_{1} \in ℝ

.

Zunächst einmal kann man das Minus vor

cot

in das Argmument von

cot

hineinschreiben, da

cot

eine ungerade Funktion ist.

[

Für alle

φ \in ℝ \ π ℤ

ist

cot (- φ) = - cot (φ) .]

cot (- \frac{x - y}{2}) = x + C_{1}

cot (\frac{y - x}{2}) = x + C_{1}

Nun kann man Versuchen

cot

auf die andere Seite zu bringen, indem man die Umkehrfunktion

a r c c o t

anwendet. Jedoch ist

a r c c o t

genau genommen nur Umkehrfunktion von der Einschränkung von

cot

auf den Bereich

] 0, π [

. Daher erhält man durch

\frac{y - x}{2} = a r c c o t (x + C_{1})

nicht alle Lösungen, sondern nur die Lösungen mit

\frac{y - x}{2} \in] 0, π [

. Um alle Lösungen zu erhalten nutzt man, dass die

cot

-Funktion

π

-periodisch ist.

cot (\frac{y - x}{2} + C_{2} \cdot π) = x + C_{1}

für

C_{2} \in ℤ

.

Man erhält

\frac{y - x}{2} + C_{2} \cdot π = a r c c o t (x + C_{1})

für ein

C_{2} \in ℤ

.

Nun löst man weiter nach

y

auf, indem man

- C_{2} \cdot π

addiert

...

\frac{y - x}{2} = a r c c o t (x + C_{1}) - C_{2} \cdot π

...

mit 2 multipliziert

...

y - x = 2 \cdot a r c c o t (x + C_{1}) - C_{2} \cdot 2 π

... x

addiert

...

y = x + 2 \cdot a r c c o t (x + C_{1}) - C_{2} \cdot 2 π

\\\\

Dies sind noch nicht alle Lösungen, da wir bei der Umformung von

1 - z^{'} = cos (z)

\frac{1}{1 - cos (z)} z^{'} = 1

annehmen mussten, dass

z \notin 2 π ℤ

ist. Was ist nun für

z \in 2 π ℤ

? Durch einsetzen von

z \equiv 2 π \cdot C

für

C \in ℤ

sieht man, dass auch dies Lösungen der DGL liefert. Man erhält also noch die Lösungen

y = x - 2 π \cdot C

für Konstanten

C \in ℤ

.

\\\\

Man hat also die Lösungen

y = x + 2 \cdot a r c c o t (x + C_{1}) - C_{2} \cdot 2 π

für Konstanten

C_{1} \in ℝ

und

C_{2} \in ℤ

. Und man hat des Weiteren noch die Lösungen

y = x - 2 π \cdot C

für Konstanten

C \in ℤ

Skye89 aktiv_icon

23:12 Uhr, 08.01.2017

Vielen Dank für die großartige Erklärung :-)

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