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DGL mit quadratischen Thermen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kettenlinie

Den97 aktiv_icon

20:28 Uhr, 07.06.2016

Hallöchen,

ich hänge im Moment(no pun intended) bei einer Aufgabe fest, bei der es um die Funktion, die die Höhe eines Punktes auf einer durchhängenden Kette beschreibt, geht.

Die Funktion hab ich gegeben:

u^{ʺ} (u + λ) = 1 + u^{ʹ 2}

,dabei bezeichen die Striche Ableitungen.

λ \in ℝ

,also eine Konstante.

Durch Substitution von

v = u + λ

erhält man:

v^{ʺ} v = 1 + v^{ʹ 2}

Jetzt muss ich diese DGL lösen.

Als Tipp bekommen wir, dass diese Gleichung äquivalent ist zu:

[l o g (1 + v^{ʹ 2})]^{ʹ} = [l o g (v^{2})]^{ʹ}

Also würde ich meinen, dass man jetzt nur noch das hier lösen muss:

1 + v^{ʹ 2} = v^{2}

Jedoch hab ich keine Ahnung wie ich mit diesen quadratischen Thermen arbeiten muss, da wir solche DGL nie hatten.

Hoffe jemand weiß wie man da dran geht :-D) Dankeschön

Nehme auch gerne Tipps entgegen, also so eine ganze Lösung muss natürlich nicht sein :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

21:05 Uhr, 07.06.2016

Wenn dich das Quadrat in

{(\frac{d v (x)}{d x})}^{2} = v {(x)}^{2} - 1

stört, könntest du ja auf die Idee kommen, beidseits die Wurzel zu nehmen.

Darfst du wissen/verwenden, dass

\int \frac{d v}{\sqrt{v^{2} - 1}} = a r c o s h (v) + C

ist?

R

P . S . :

Eins noch - es sind "Terme"! Eine "Therme" ist etwas anderes!

Den97 aktiv_icon

00:24 Uhr, 08.06.2016

Ahh danke schonmal.
Klar hab ich daran gedacht nur hab ich irgendwie den Wald voller Bäume nicht gesehen und irgendein Mist mit part. Integrationen gemacht :-D).

So:

1 + v^{ʹ 2} = v^{2}

v^{ʹ} = \sqrt{v^{2} - 1}

\frac{1}{\sqrt{v^{2} - 1}} \frac{d v}{d t} = 1

,Separation von Variablen:

\frac{d v}{\sqrt{v^{2} - 1}} = d t

\int_{}^{} \frac{d v}{\sqrt{v^{2} - 1}} d v = \int_{}^{} d t

a r c o s h (v) + c = t + d

arcosh(v)=t+a

= > v = c o s h (t + a)

Gäbe es noch andere Lösungen von v? v=1 würde nämlich auch Sinn machen.
Außerdem verwirrt mich noch die integration nach v. Denn arcosh(v) abgeleitet ergibt genau

\frac{d v}{\sqrt{v^{2} - 1}}

, aber Ergebnis tatsächliche müsste

l n (∣ \sqrt{v^{2} - 1} + v ∣)

sein. Gibt es da einen exakteren Weg, als mit cosh? Denn das auflösen mit dem Betrag ist etwas schwierig.

Klar hab ich daran gedacht nur hab ich irgendwie den Wald voller Bäume nicht gesehen und irgendein Mist mit part. Integrationen gemacht.

Ps: Ich schreib auch gerne MolekeüHle , da kann ich nichts dafür :-)

Roman-22

19:54 Uhr, 08.06.2016

>

Gäbe es noch andere Lösungen von v?

v = 1

würde nämlich auch Sinn machen.
Durchaus. Du dividierst doch im Laufe der Rechnung durch

\sqrt{v^{2} - 1}

und an der Stelle musst du natürlich die Fallunterscheidung

v \neq 1

(dafür gilt deine Rechnung nur) und

v = 1

(hier sollte sich rausstellen: Hoppla, das ist ja auch Lösung) machen.

Außerdem folgt aus

v'^{2} = v^{2} - 1

ja entweder

v' = \sqrt{v^{2} - 1}

ODER auch

v' = - \sqrt{v^{2} - 1}

.

Und was deine andere Frage anlangt - warum denkst du dass

cosh

nicht exakt sei.
Im Übrigen gilt ja der Zusammenhang arcosh(x)=

ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}),

wie du leicht erkennen kannst, wenn du

x = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

nach

y

auflöst.

>

Ps: Ich schreib auch gerne MolekeüHle , da kann ich nichts dafür :-)
Doch, kannst du. Aber wenns dir damit in der Chemie zu küHl wird, kannst du dich ja in die THerme zurück ziehen.

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