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DGL nicht lösbar?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gerhart332 aktiv_icon

17:36 Uhr, 19.08.2020

Hallo,

ich bin eventuell auf eine nicht lösbare DGL gestossen:

y' - sin (x) \cdot y = sin (x) - \to

linear, inhomogen

1)

Lösen der homogenen DGL:

y' = sin (x) \cdot y

-->seperabel

\frac{d y}{d x} = sin (x) \cdot y

y = e^{- cos (x) + ln | C |}

Lsg. der homogenen DGL: yH

= e^{- cos (x)} \cdot K

für

K

Element der reellen Zahlen

2)spezielle Lsg.

yP

= K (x) \cdot e^{- cos (x)}

y' P = K' (x) \cdot e^{- cos (x)} + K (x) \cdot e^{- cos (x)} \cdot sin (x)

Wenn man das in die Anfangs-DGL einsetzt kommt man auf:

K (x) =

Integral (

sin (x) \cdot e^{cos (x)} d x)

Doch hier haben mir etliche Integralrechner bei der Eingabe von

e^{cos (x)}

gesagt : Geht nicht

Stimmt das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:00 Uhr, 19.08.2020

Hallo,
leite doch mal

- e^{\cos (x)}

ab!
Gruß ermanus

Gerhart332 aktiv_icon

18:03 Uhr, 19.08.2020

Ist dann gleich sin(x)*e^(cosx), also geht es doch, danke!

Aber wie würde man denn integrieren? Durch partielle Integration?
Was wäre am besten als

u'

und was als v?
Ich weiß, dass man das gewählte

u'

integrieren muss und das gewählte

v

ableiten.

ermanus aktiv_icon

18:10 Uhr, 19.08.2020

Es schreit doch nach Substitutionsregel, z.B.

t = \cos (x)

...

ledum aktiv_icon

18:22 Uhr, 19.08.2020

Die meisten in Physik und auch Mathe vorkommenden Differentialgleichungen haben nur numerische Lösungen, nur wenige kann man durch die "normalen" bekannten Funktionen lösen.
so ist eigentlich

y' = y

ja auch nur numerisch bekannt, denn wie rechnest du

e^{x}

ohne TR aus, der das numerisch macht?
die Funktionen, die in Physik oft vorkommen haben Namen, wie

sin, cos,

exp

d . h

sie sind vertafelt bzw in Rechner integriert, aber in Wirklichkeit auch nur numerische Lösungen von oft vorkommenden Dgl.
In dem Sinne gibt es keine "unlösbaren" Dgl.
Gruß ledum

pivot aktiv_icon

18:25 Uhr, 19.08.2020

Hallo,

betrachte doch mal das Problem vom Ende her. Was ist die Ableitung von

e^{\cos (x)}

?

Gruß
pivot

Oh. Da war ich dann doch etwas spät.

ermanus aktiv_icon

18:31 Uhr, 19.08.2020

@pivot: ;-)
Gruß ermanus

anonymous

19:44 Uhr, 19.08.2020

Hallo,

K (x) = \int_{x_{0}}^{x} sin (t) \cdot e^{cos (t)} \cdot d t

Substitution:

u = cos (t) \Rightarrow d u = - sin (t) \cdot d t

= - \int_{cos (x_{0})}^{cos (x)} e^{u} \cdot d u

= - e^{cos (x)} + e^{cos (x_{0})} = - e^{cos (x)} + C

.

Da hätte ich selbst jetzt auch nochmal eine kleine Frage:
Es gab da so eine Möglichkeit, eine halbe geschweifte
Klammer über mehrere Zeilen zu stretchen, was ganz
schick für Fallunterscheidungen ist. Ich hab das
mal gewusst, jedoch leider wieder vergessen. Kann mir das
Jemand bitte nochmal verklickern ?

Ich meine

{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}),

aber ohne das durch den Vektor zu erzwingen...

Gerhart332 aktiv_icon

20:57 Uhr, 19.08.2020

Dankeschön an alle,

aber muss man bei dem Integral wirklich die Grenzen anpassen?
Ich dachte bei unbestimmten Integralen sei dies egal.

Viele Grüße

anonymous

22:14 Uhr, 19.08.2020

Ja, die Mathematik hat viele Haken und Ösen...

michaL aktiv_icon

22:59 Uhr, 19.08.2020

Hallo,

∣ x ∣ = {\begin{aligned} x, & x \geq 0 \\ - x, & x < 0 \end{aligned}

schreibt man im Expertenmodus etwa so:

$|x|=\left\{\begin{array}{rl}x,& x\geq0\\-x,&x<0\end{array}\right.$

Ich finde sowieso, dass es sich für Studierende der Mathematik lohnt, früher als später mit LaTeX anzufangen.

Mfg Michael

anonymous

23:23 Uhr, 19.08.2020

Danke !

ledum aktiv_icon

16:36 Uhr, 20.08.2020

@Wurzelgnom
Was hat das mit dem Thema zu tun?
ledum

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