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DGL ungedämpfter Oszillator

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alnura aktiv_icon

11:44 Uhr, 19.10.2019

Ich komme bei dieser eigentlich sehr simplen Aufgabe nicht weiter:
Wir betrachten die DGL x'=Ax mit

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - ω^{2} & 0 \end{matrix}]

(also die zum ungedämpften Oszillator gehörige DGL)
Wir wissen, dass A zwei zueinander komplex konjugierte Eigenwerte

λ, \bar{λ}

und Eigenvektoren

v, \bar{v}

hat und definieren

z_{1} (t) = e^{λ t} v

sowie

z_{2} (t) = e^{\bar{λ} t} \bar{v}

(Nachrechnen ergibt

λ = i ω

und

v = [\begin{matrix} - \frac{i}{ω} \\ 1 \end{matrix}]

Nun soll ich zeigen, dass

y_{1} (t) = \frac{z_{1} (t) + z_{2} (t)}{2}

und

y_{2} (t) = \frac{z_{1} (t) - z_{2} (t)}{2 i}

Lösungen der DGL x'=Ax sind. Was ich gemacht habe, ist die beiden Funktionen abzuleiten, Ax auszurechnen und zu hoffen dass eben das Gleiche rauskommt. Bei

y_{1}

hat auch alles hingehauen, bei

y_{2}

aber leider nicht.
Gibt es noch einen schnelleren Weg als die Ableitungen zu berechnen? Ich wäre sehr dankbar für einen tipp, vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 19.10.2019

Hallo,

dann hast Du Dich irgendwie verrechnet. Man kann ja allgemein zeigen: Wenn

y_{1}

und

y_{2}

Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystem sind, dann ist auch jede Linearkombination eine Lösung. Da braucht man konkret nichts rechnen, das folgt sofort aus der Struktur des Problems.

Gruß pwm

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