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DGLs für ein Masse-Feder-System

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, gewöhnlich, Schwingung, Zustandsraumgleichung

DieGrueneNeune aktiv_icon

16:10 Uhr, 13.03.2023

Hallo Zusammen,

ich hab folgende Aufgabe und hatte dazu einige Fragen bzw. die Frage ob jemand mal drüber gucken könnte was ich da schon gemacht habe.

Aufgabentext

In der nachfolgenden Abbildung ist ein System mit zwei kugelförmigen Massen

m 1

und

m 2

sowie drei Federn mit Federkonstanten

k 1; k 2

und

k 3

dargestellt.
Außerdem wirkt neben den Federkräften zum Zeitpunkt

t

eine äußere Kraft

F (t)

auf die rechte der
beiden Massen. Unter der Bedingung, dass

d 1 = 1 [m]

und

d 2 = 2 [m]

ist, ist das System im Gleichgewicht. Reibung kann vernachlässigt werden und die Federn gehorchen dem Hookschen Gesetz.

Aufgabe 1:
Nehmen Sie an, dass

F = 0

ist und beschreiben Sie den Prozess als kontinuierliches dynamisches System. Geben Sie dazu die Zustandsmenge und die Differentialgleichung an.

Masse 1:

m_{1} \cdot d^{''} + k_{1} \cdot (d_{1} - 0) - k_{2} \cdot (d_{2} - d_{1}) = 0

m_{1} \cdot d^{''} = - k_{1} \cdot (d_{1} - 0) + k_{2} \cdot (d_{2} - d_{1})

Masse 2:

m_{2} \cdot d_{2} ('') + k_{2} \cdot (d_{2} - d_{1}) - k_{3} \cdot (0 - d_{2}) = 0

m_{2} \cdot d_{2} ('') = - k_{2} \cdot (d_{2} - d_{1}) + k_{3} \cdot (0 - d_{2})

Aufgabe 2:
Geben Sie eine Zustandsraumdarstellung für das System an. Verwenden Sie dazu

F (t)

als Eingangssignal und wählen Sie ein geeignetes Ausgangssignal. (Hinweis: Verwenden Sie die Zustandsgrößen

x 1 = d 1

− 1 und

x 2 = d 2

−

2 .)

Hier die zweite Diff. Gleichung mit der zusätzlichen Kraft:

m_{1} \cdot d_{1}^{''} = - k_{1} \cdot (d_{1} - 0) + k_{2} \cdot (d_{2} - d_{1})

m_{2} \cdot d_{2}^{''} = - k_{2} \cdot (d_{2} - d_{1}) + k_{3} \cdot (0 - d_{2}) + F (t)

Und mit der Transformation (siehe Bild).

Ich möchte gerade im Bezug auf die Eingangs-/Ausgangsgrößen bzw. Signale fragen, wie ich die in die Zustandsraumgleichung bzw. die diff. Gleichungen einfüge.

Vielen Dank schon Mal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KartoffelKäfer aktiv_icon

00:40 Uhr, 14.03.2023

Hallo,

die Auslenkung der dritten Feder scheint mir falsch zu sein.

Sei

s

die Breite des Konstrukts, also der Abstand der zwei

begrenzenden Wände links und rechts, dann sind die Auslenkungen

a_{1} (t) := d_{1} (t),

a_{2} (t) := d_{2} (t) - d_{1} (t),

a_{3} (t) := s - d_{2} (t)

und damit die DGLs

d_{1}'' (t) = \frac{- a_{1} (t) k_{1} + a_{2} (t) k_{2}}{m_{1}} = - \frac{k_{1} + k_{2}}{m_{1}} d_{1} (t) + \frac{k_{2}}{m_{1}} d_{2} (t)

d_{2}'' (t) = \frac{- a_{2} (t) k_{2} + a_{3} (t) k_{3} + F (t)}{m_{2}} = \frac{k_{2}}{m_{2}} d_{1} (t) - \frac{k_{2} + k_{3}}{m_{2}} d_{2} (t) + \frac{k_{3} s + F (t)}{m_{2}}

.

Siehe dazu auch die angehängte Skizze.

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