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Dämpfungssatz

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Dämpfungssatz, Gewöhnliche Differentialgleichungen, laplace

fusroda

14:48 Uhr, 08.01.2018

Hey,

bei der Durchsicht von alten Aufgaben ist mir nochmal Laplace entgegen gerutscht.
Bei Dämpfungssatz: L(e^(-at) *f(t) )=F(s+a)

Bei L(e^(-3t)*(sin(t)/t))(s)
die Laplacetransformierte von sint/t = arctan(a/s)
wenn man (s+a) statt s einsetzt
müsste arctan (3/(s+3)) rauskommen
Lösung soll glaub arctan 1/(s+3) sein warum?

Danke euch!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Roman-22

15:08 Uhr, 08.01.2018

>

die Laplacetransformierte von sint/t = arctan(a/s)
Nein. Wo sollte denn da ein a herkommen?

L (\frac{sin (a t)}{t}) = a r c t a n \frac{a}{s}

L (\frac{sin t}{t}) = a r c t a n \frac{1}{s}

und somit

L (e^{- 3 t} \cdot \frac{sin t}{t}) = a r c t a n \frac{1}{s - (- 3)} = a r c t a n \frac{1}{s + 3}

oder

L (e^{- 3 t} \cdot \frac{sin (3 t)}{t}) = a r c t a n \frac{3}{s - (- 3)} = a r c t a n \frac{3}{s + 3}

fusroda

12:10 Uhr, 12.01.2018

Super vielen Dank!!

Kommt bei L(e^(0,1t) * cos²(0,5t))(s)

((s-0,1)²+0,2)/((s-0,1)²+1)) raus?

fusroda

12:19 Uhr, 12.01.2018

wie funktieoniert dass mit dem (o.5 ) hier?
ich glaube dann lautet es im zähler (s-0,1)²+0,5
aber wieso?

Roman-22

12:59 Uhr, 12.01.2018

Wegen

L ({cos}^{2} (a \cdot t)) = \frac{s^{2} + 2 a^{2}}{s \cdot (s^{2} + 4 a^{2})}

ist

L ({cos}^{2} (0.5 \cdot t)) = \frac{s^{2} + 0.5}{s \cdot (s^{2} + 1)}

Jetzt noch wegen der Dämpfung

e^{0.1 t} s

durch

(s + 0.1)

ersetzen

\to

L (e^{0.1 t} \cdot {cos}^{2} (0.5 \cdot t)) = \frac{{(s + 0.1)}^{2} + 0.5}{(s + 0.1) \cdot {(s + 0.1)}^{2} + 1} = \frac{s^{2} - 0.2 s + 0.51}{(s - 0.1) \cdot (s^{2} - 0.2 s + 1.01)} = \frac{1000 s^{2} - 200 s + 510}{(10 s - 1) \cdot (100 s^{2} - 20 s + 101)}

fusroda

13:08 Uhr, 12.01.2018

ja aber warum nimmt man einmal das a =-0,1 bei s+a und setzt in a bei der laplacetransformierten für a die 0,5 von cos(0.5t)?

Roman-22

15:55 Uhr, 12.01.2018

>

ja aber warum nimmt man einmal das

a = - 0,1

bei

s + a

und setzt in a bei der laplacetransformierten für a die

0,5

von

cos (0.5 t)

?
Wie meinst du das? Nur weil in einer Laplace-Tabelle da jedes mal ein a steht, hat das doch nicht die gleiche Bedeutung.
Nur der Koeffizient des Exponenten bei der Dämpfungsfunktion

e^{a \cdot t}

bedingt das Ersetzen von

s

durch

(s - a)

.

Also allgemein (jetzt halt mit

x

und

y

anstelle von

0.1

und

0.5

und nicht mit

a)

L (e^{x \cdot t} \cdot {cos}^{2} (y \cdot t)) = \frac{{(s - x)}^{2} + 2 y^{2}}{(s - x) \cdot ({(s - x)}^{2} + 4 y^{2})}

fusroda

17:20 Uhr, 12.01.2018

die Erklärung oben hat mir schon sehr geholfen, danke.
also einfach laplace transformieren schauen wie a ist ...
dann s durch s+a ( a von e^ nehmen)

danke

Roman-22

20:29 Uhr, 12.01.2018

>

dann

s

durch

s + a (a

von

e^{}

nehmen)
Wenn die Dämpfung

e^{- a \cdot t} t

ist, dann

s + a

Bei dir war es

e^{+ 0,1 \cdot t},

daher

s - 0,1

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1408393

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