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Darstellende Matrix Bilinearform ausgeartet
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Lineare Abbildungen
 
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Mache folgenden Beweis: Siehe Anhang Von nach ii) habe ich bereits bewiesen. von iii) scheint mir sehr ähnlich zu funktionieren. Nur von ii) iii) bin ich immer noch komplett ratlos und ich muss leider morgen schon abgeben. Wie funktioniert das? Stehe echt aufm Schlauch. Danke im Vorraus  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Eigentlich brauchst Du nicht ii) => iii). Denn wenn Du i) => ii) beweisen kannst, kannst Du sicherlich auch i) => iii) beweisen. Dann reicht es, iii) => i) und ii) => i) zu beweisen. |
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Zu iii) Meine Argumentation bei ii) war dass nicht invertierbar ist, also dim(kern(b))!= 0. Demnach gibt es nen Vektor der mit Koordinatenabbildung auf nen Vektor abgebildet wird, der mit der Matrix multipliziert den Nullvektor ergibt und somit wird die ganze Bilinearform 0 für alle . Wenn ich zeigen will dass ausgeartet in der ersten Variable ist, kann ich dann mit derselben Argumentation einen Vektor von links an die Matrix ranmultiplizieren um die 0 zu erzeugen? Ist ein Vektor im Kern von einer Matrix von links und rechts ranmultiplizierbar? Bin mir da nicht so sicher irgendwie. |
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"Ist ein Vektor im Kern von einer Matrix von links und rechts ranmultiplizierbar? " Allgemein nicht, aber die Matrix einer Bilinearform ist symmetrisch, also folgt aus , dass , weil . Deshalb links oder rechts - spielt in diesem Fall keine Rolle. |
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"Sei ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei β × → eine Bilinearform. Zeigen Sie: β ist symmetrisch genau dann, wenn β] B×B fuer jede Basis von symmetrisch ist." Das hatten wir im Tutorium bewiesen. Aber wer sagt dass symmetrisch ist? |
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Stimmt, sie ist nicht unbedingt symmetrisch. Da habe ich zu viel gewollt. Hm, heute werde ich wohl nichts mehr dazu beitragen können. :-) |
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Alles klar. Danke dir trotzdem ;-) Kann mir sonst jemand helfen? Grüße |
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OK, doch eins dazu. i) => iii) geht einfach, wenn man Folgendes weiß: Matrix nicht invertierbar => die Zeilenvektoren sind linear abhängig. Ich nehme das mal als bekannt an. Wenn dann die Zeilenvektoren sind, dann haben wir , wobei nicht alle Null sind. Dann gilt und damit ist entartet in der 1. Variable. |
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