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Darstellende Matrix einer symm. Bilinearform

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Tags: Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

MeinNichkname aktiv_icon

21:42 Uhr, 08.06.2013

Hallo,

ich habe eine symmetrische Bilinearform

γ : V \times V \to ℝ

γ (A, B) = s p u r (A B)

gegeben.

V

ist ein

ℝ

-Unterraum von

M (2, ℂ)

mit Basis

(A_{1}, A_{2}, A_{3})

A_{1} = (\begin{array}{rcl} i & 0 \\ 0 & - i \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{rcl} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}), A_{1} = (\begin{array}{rcl} 0 & i \\ i & 0 \end{array})

.

Nun habe ich die Basismatrizen mit

γ

abgebildet und

s p u r (A_{1} A_{1}) = s p u r (A_{2} A_{2}) = s p u r (A_{3} = A_{3}) = - 2

sowie für alle anderen Spuren

0

erhalten. Doch wie sieht nun die darstellende Matrix aus? Mich irritiert, dass ich hier zum einen zwei Argumente gegeben habe (für diese müsste ich wohl alle Kombinationen

A_{i}, A_{j}

abbilden, wie ich es bereits getan habe) und vor allem, dass diese Matrizen sind ... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

MeinNichkname aktiv_icon

23:56 Uhr, 08.06.2013

Jemand vielleicht auch einfach nur eine Quelle, wo ich es selbst nachlesen kann? Möchte die Aufgabe wirklich dringend lösen, kann aber in meinem Skript nichts zu einem solchen Fall finden.

michaL aktiv_icon

09:06 Uhr, 09.06.2013

Hallo,

kannst du die Originalaufgabe einstellen?
So weiß ich leider auch nicht genau, wie du die Aufgabe lösen sollst.

Ich vermute sehr stark, dass du

{A - 1, A_{2}, A_{3}}

als (geordnete) Basis von

V

nehmen sollst. Dann würde

A_{1}

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(usw).

Kannst du von da ab allein weiter? (wenn ws denn so gemacht werden soll)

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

13:26 Uhr, 09.06.2013

Hi, naja, dass ist im Wesentlichen die Originalaufgabe. Ich habe

γ

genommen und damit alle Kombinationen

γ (A_{i}, A_{j})

abgebildet. Dabei habe ich eben herausgefunden, dass

γ (A_{i}, A_{i}) = - 2

und

γ (A_{i}, A_{j}) = 0

, für

i \neq j

gilt. Doch wie komme ich damit zur darstellenden Matrix?

Oder mache ich das hier komplett falsch? Natürlich gehe ich von einer geordneten Basis

(A_{1}, A_{2}, A_{3}

aus. Und diese bilde ich ja normalerweise mit meiner Abbildung ab, um die Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis von

γ

zu erhalten ... Irgendwie gelingt es mir nicht, dieses Verfahren auf dieses Szenario zu übertragen. Mich irritiert, dass ich zwei Argumente habe, die Matrizen sind. Wie sieht die darstellende Matrix hier aus?

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen ...

michaL aktiv_icon

13:43 Uhr, 09.06.2013

Hallo,

hast du meinen letzten Beitrag bis zuende gelesen?

Da steht doch, dass du

A_{1}

als

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(usw). auffassen sollst.
Und schon ist aus deiner Matrix ein Komponentenvektor geworden.

Wirst du damit nicht alle Probleme los?

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

14:19 Uhr, 09.06.2013

Hi michaL,

doch, natürlich habe ich deinen Beitrag bis zum Ende gelesen. Aber was meinst du damit, dass ich

A_{1}

als

(1, 0, 0)^{T}

auffassen soll? Inwiefern und warum?

Tut mir leid, wenn ich mich vielleicht etwas blöd anstelle, aber ich versteh den Zusammenhang wirklich nicht.

MeinNichkname aktiv_icon

18:00 Uhr, 09.06.2013

Ich weiß nicht, ob die Antwort vielleicht zu offensichtlich ist ... Könnte mir jemand kurz sagen, wie sich das hier verhält?

Das Problem ist doch, dass das Ergebnis die Spur, also ein Skalar ist. Wie komme ich damit zu einer darstellenden Matrix ... ich stehe total auf dem Schlauch

EDIT:
Oder Moment: Ist die darstellende Matrix

(\begin{array}{rcl} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array})

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