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Darstellende Matrix verschiedene Basen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

vielevielefragen aktiv_icon

23:10 Uhr, 17.02.2019

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe.

Es seien

S := {(1, 0), (0, 1)}

und

T := {(1, 2), (2, - 1)}

zwei Basen des

ℝ^{2}

f

sei eine lineare Abbildung mit der Darstellenden Matrix

D_{S, S} (f) = (\begin{matrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \end{matrix})

.

Bestimme

D_{T, S} (f)

.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

γ_{T} (v)

bezeichnie die Koordinatendarstellung von

v

zur Basis T.
In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass für eine Darstellungsmatrix

D_{T, S} (f) = (γ_{T} (f (s_{1})) | γ_{T} (f (s_{2})) | . .

| γ_{T} (f (s_{n})))

gilt.

Wenn man das anwendet, erhält man

γ_{T} (f (s 1)) = γ_{T} (f (1,0)) = γ_{T} (\begin{matrix} \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} \end{matrix}) = \frac{1}{5} \cdot (1, 2) + \frac{2}{5} \cdot (2, - 1) = (1, 0)

und

γ_{T} (f (s 2)) = γ_{T} (f (0, 1)) = γ_{T} (\begin{matrix} \frac{2}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix}) = \frac{2}{5} \cdot (1, 2) + \frac{4}{5} \cdot (2, - 1) = (2, 0)

.

Demnach wäre

D_{T, S} (f) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix})

.

Laut der Lösung, gilt aber

D_{T, S} (f) = (\begin{matrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 \end{matrix})

.

Wäre froh, wenn jemand meinen Fehler findet.

Edit:
Habe bemerkt, dass die Formel

D_{T, S} (f) = (γ_{T} (f (s_{1})) | γ_{T} (f (s_{2})) | . .

| γ_{T} (f (s_{n})))

nicht richtig ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

07:39 Uhr, 18.02.2019

Hallo,

also, die Theorie dahinter ist echt nicht schwierig!

Ein Basiswechsel kann nämlich durch Multiplikation mit einer Matrix erreicht werden.
Sei

E

die Standardbasis (eines endlichen

K

-Vektorraums

V

) und

B

eine weitere Basis.

Fasst man

B

selbst als Matrix auf (

B

besteht ja aus Spaltenvektoren. Die in der Reihe hintereinander geschrieben ergibt eine Matrix), so erhält man die Basiswechselmatrix

M_{B \to E}

für den Wechsel von Basis

B

in die Standardbasis

E

.
Klar ist, dass

M_{E \to B} = M_{B \to E}^{- 1}

gilt.

Hast du nun eine lineare Abbildung

φ

, die bzgl. einer Basis

S

durch die Matrix

M_{S \to S} (φ)

gegeben ist, so ist die Umrechnung in eine andere Basis

T

gegeben durch:

M_{S \to T} (φ) = M_{E \to T} \cdot M_{S \to E} \cdot M_{S \to S} (φ)

.

Wie oben ausgeführt ist

M_{S \to E}

einfach diejenige Matrix, bei der die Spaltenvektoren von

S

als Matrix geschrieben werden.

M_{E \to T}

ist das Inverse der so gewonnenen Matrix bzgl. der Basis

T

.

Viel Rechnen muss man also nicht!

1.

M_{T \to E}

aufstellen und invertieren, um

M_{E \to T}

zu erhalten.
2.

M_{S \to E}

aufstellen.
3. Produkt

M_{E \to T} \cdot M_{S \to E} \cdot M_{S \to S} (φ)

bilden.

Mfg Michael

DerDepp aktiv_icon

10:24 Uhr, 18.02.2019

Hossa :-)

Ich habe auch

(\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{array})

raus.

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