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Darstellung des Produkt von Permutationen

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra, permutation, produkt

 
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RandomDude

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16:13 Uhr, 15.11.2019

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HAllo,

ich habe gerade etwas schwierigkeiten bei einer Aufgabe zur linearen Algebra.

Ich muss zeigen, dass für das Produkt elementfremder Zyklen gilt:

τστ-1=(τ(a1,1),τ(a1,2)...)(τ(a2,1)τ(a2,2)...)...(τ(am,1),τ(am,2))

Für
σ=(a1,1,a1,2...)(a2,1,a2,2)...(am,1,am,2)

Ich komme hier nicht weiter und bräuchte Unterstützung, da mich das τ-1 verwirrt und ich nicht weiß wie ich mit der Multiplikation umgehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

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16:27 Uhr, 17.11.2019

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Hallo,

mich verwirrt die Aufgabenstellung als solche.
Hast du nicht vielleicht einen Scan der Originalaufgabenstellung?

Mfg Michael
RandomDude

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19:36 Uhr, 17.11.2019

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Klar kein Problem



Unbenannt345
Antwort
ermanus

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13:13 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Hallo,
dass die Zykel elementfremd sind ist unwichtig; denn die
Behauptung gilt für beliebige Produkte von Zykeln.
Die Abbildung i(τ):SnSn,στστ-1
ist eine (innerer) Automorphismus von Sn.
Daher muss man die Behauptung a) nur für einen Zykel beweisen:
τ(a1,ar)τ-1=(τ(a1),,τ(ar)).
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

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13:35 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Sei σ=(a1,,ar), dann bedeutet dies
σ(ai)=ai+1 für i=1,,r-1 und σ(ar)=a1.
Nun ermittele, was
(τστ-1)(τ(ai)) ist für i=1,,r-1
und was
(τστ-1)(τ(ar)) ist.
RandomDude

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18:31 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Hallo,

danke für deine Antwort.
Leider konnte ich diese erst jetzt lesen aufgrund der Uni.

"...ist eine (innerer) Automorphismus von S_n"

Wir hatte leider den Begriff des inneren Automorphismus nicht und damit müsste ich es doch erstmal beweisen.

"Daher muss man die Behauptung a) nur für einen Zykel beweisen"

Meinst du damit einfach ein Beispiel angeben? oder wie meinst du das mit "einen Zykel"?

Und ist die zweite Antwort für b gemeint oder gehört das noch zu a.

Danke nochmal.
Antwort
ermanus

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18:45 Uhr, 18.11.2019

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Mit einem Zykel meine ich, dass man kein Zykelprodukt aus mehr als
einem Zykel betrachten muss;

denn seien ρ1,,ρk irgendwelche Zykel und σ=ρ1ρk. dann gilt
τστ-1=τ(ρ1ρ2ρk)τ-1=
=τρ1τ-1τρ2τ-1τρkτ-1.
Also muss man doch nur gucken, wie solch ein τρiτ-1 aussieht.
Und wie du an meinen Ausführungen siehst, nehme ich einen ganz allgemeinen
Zykel (a1,,ar) und untersuche, was mit diesem passiert.


RandomDude

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19:06 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Danke für die Antwort.

Also so wie ich das verstanden habe kann man mit dem inneren Automorphismus zeigen, dass man nur ein Zykelprodukt mit einem Zykel zeigen kann um die Aussage zu bestätigen (leuchtet mir gerade noch nicht ein. Vielleicht weil ich den inneren Automorphismus noch nicht hatte.)

Deshalb würde es ausreichen wenn man nur τσ betrachtet?

Deine Ausführung (zweite Antwort) verstehe ich allerdings noch nicht ganz.

Sei σ=(a1,...,ar), dann bedeutet dies
σ(ai)=ai+1 für i=1,...,r−1 und σ(ar)=a1

Ich verstehe gerade nicht ob du " σ(ai)=ai+1 " festlegst oder ob das eine Definition ist.

(τστ-1)(τ(ai)) ist für i=1,⋯,r−1

Wie kommst du genau auf diese Aussage Also explizit (τ(ai)) müsste es nicht nur " (ai) " sein.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

19:12 Uhr, 18.11.2019

Antworten
So ist doch ein Zykel als Abbildung definiert:
σ=(,ai,ai+1,) bildet doch ai auf ai+1 ab,
also σ(ai)=ai+1,
das ist ja der Sinn der Zykelschreibweise.
Du musst nichts von inneren Automorphismen wissen, da ich dir
die wichtige Eigenschaft gerade eben separat bewiesen habe.
RandomDude

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19:14 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Achso jetzt habe ich verstanden was du vorher gemeint hattest. Habe das Missverstanden. Entschuldige.
RandomDude

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20:36 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Tut mir leid wenn ich so viel nachfrage aber ich komme gerade echt nicht weiter mit der Aufgabe.

Warum muss ich genau zeigen was mit

(τστ-1)(τ(ai)) für i=1,⋯,r-1

Also generell muss ich doch (τστ-1) auf (ai) anwenden. Also frage ich mich woher das τ kommt. Und wie kann ich bei einem Fall von (τστ-1)(τ(ai)) weiterrechnen.

Wir haben Permutationen nur eine halbe Stunde behandelt, weshalb ich kaum Kenntnisse darüber verfüge.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:12 Uhr, 19.11.2019

Antworten
Hallo,
wir wollen zeigen, dass τστ-1=(τ(a1),,τ(ar)) ist,
also müssen wir nachweisen, dass τστ-1 angewendet auf τ(a1)
den Wert τ(a2), usw. ergibt.
RandomDude

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12:18 Uhr, 19.11.2019

Antworten
Hallo,

danke dir für die Antwort.

Ich habe jetzt verstanden warum wir zeigen müssen was mit

(τστ-1) angewendet auf (τ(ai) für i=1,...,r-1 passiert und dasselbe mit (τ(ar)).

Rein logisch müsste dann τ(ai) zu τ(ai+1) werden und dann τ(ar) zu τ(a1), da wir

τστ-1=(τ(a1))(τ(a2)).... (τ(r)) rausbekommen müssen

oder nicht?

Problem ist nur ich weiß nicht wie man ein τστ1 uf ein τ(ai) anwenden kann.
Also verstehen tu ich es aber anwenden könnte ich es nicht.

Wie gesagt fehlen mir einige Kenntnisse zur Permutaion.
Kennt ihr vielleicht eine gute Seite wo man einiges für Permutationen nachlesen kann?
In meinen Büchern steht nichts und sonst finde ich nur Seiten die Beispiele bringen aber keine Allgemeine Definitionen.

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:28 Uhr, 19.11.2019

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Ja, das hast du richtig verstanden.
Leider kenne ich selbst kein Buch, in dem die Permutationen
in voller Breite erklärt werden.
Aber vielleicht ist da ja ein anderes Forumsmitglied, das hier
guten Rat weiß.

Gruß ermanus
RandomDude

RandomDude aktiv_icon

14:59 Uhr, 19.11.2019

Antworten
Leider weiß ich aber nicht wie ich das zeigen kann.
Kannst du mir vielleicht den Beweis zeigen (selbstverständlich nur wenn du einverstanden bist)
Es kann sein, das sich dann mehr verstehe als wenn ich nur Vermutungen aufstelle obwohl ich von Permutationen kaum etwas weiß.
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