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Darstellung einer Funktion

Schüler

Tags: Verständnisfrage

Christian- aktiv_icon

11:03 Uhr, 18.01.2018

Hallo, ich verstehe folgende Sache nicht.
Ist es so formal richtig dargestellt:

f (x, y (x)) = \frac{x}{y}

Oder so:

f (\frac{x}{y (x)}) = \frac{x}{y}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

12:35 Uhr, 18.01.2018

Es kommt darauf an, was du ausdrücken möchtest.

Entweder du definierst eine Funktion mit zwei skalaren Argumenten

f (x, y) := \frac{x}{y} \to f (\frac{π}{6}, \frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

oder

f (\frac{π}{6}, sin (\frac{π}{6})) = \frac{π}{3}

oder eine Funktion, deren erstes Argument ein Skalar und das zweite eine Funktion ist

f (x, y) := \frac{x}{y (x)} \to f (\frac{π}{6}, sin) = \frac{π}{3}

Der formale Parameter/Argument ist immer ein einfacher Name. Der definierende Term legt dann erst fest, ob es sich dabei um einen Skalar oder eine Funktion handelt.

Christian- aktiv_icon

14:38 Uhr, 18.01.2018

Hallo, danke erstmal,

Na ja, ich weiß auch nicht so recht. Schau mal die Grafik,

z . B

das Euler-homogen.

Diese Darstellung

y' = f (\frac{x}{y}) = ...

.

Man kann sie doch auch so aufschreiben:

y' (x) = f (x, y (x))

Oder?

Weil die Darstellung

f (x, y (x))

bedeutet schlicht und ergreifend, dass wir eine Funktion

f

haben ,die die Elemente

x

und

y (x)

beinhaltet, wobei das x-Element eine unabhängige Variable ist und

y

eine anhängige Variable ist. man kann jetzt mit diesen Elementen alle 4 Grundrechenarten vollziehen und mehr.

Edddi aktiv_icon

14:58 Uhr, 18.01.2018

. .

. das heißt doch einfach nur, dass genau

\frac{y}{x}

als Term in den DFGL. vorkommen müssen. Nicht

x

einzeln und auch nicht

y

einzeln.

Bsp.:

y' = \sqrt{\frac{y}{x}}

oder

y' = sin (\frac{y}{x})

oder

y' = sin (\frac{y}{x}) \cdot {(\frac{y}{x})}^{2}

;-)

Roman-22

16:04 Uhr, 18.01.2018

>

Weil die Darstellung

f (x, y (x))

bedeutet schlicht und ergreifend, dass wir eine Funktion

f

haben ,die die Elemente

x

und

y (x)

beinhaltet

Nun

f (x, y (x))

kann nur der AUFRUF einer Funktion mit zwei (vermutlich) skalaren Argmenten sein, nicht aber deren Definition.
Und

y

ist dabei keine Variable sondern eine Funktion, erkennbar an den Parameterklammern bei der Schreibweise

y (x)

.

Die Schreibweise

y' = f (\frac{y}{x}),

die hier abkürzend für

y' (x) = f (\frac{y (x)}{x})

steht, bedeutet doch nur, dass du eine Funktion

f,

die ein skalares Argument erwartet, mit dem Quotienten aus dem Funktionswert der Funktion

y

an der Stelle

x

und eben diesem

x

aufrufst.

Ist also

f (a) = a^{2} - 3 a,

dann ist

f (\frac{y}{x}) = {(\frac{y}{x})}^{2} - 3 \cdot (\frac{y}{x})

.
Du kannst es auch so sehen:

f

muss eine Funktion in

x

und

y

sein, bei der man

\frac{y}{x}

durch eine neue Variable substituieren kann (und somit eine gleichgradige DGL vorliegt). Mit

f (\frac{y}{x})

wird also angegeben, welche Bauart

f

haben soll. Eine andere Möglichkeit wäre zu sagen, dass

y' = \frac{g (x, y)}{h (x, y)}

mit

g

und

h

von gleichem Grad.

Mit obiger Funktion

f

ist

y' = f (\frac{y}{x}),

also

y' = {(\frac{y}{x})}^{2} - 3 \cdot (\frac{y}{x})

eine gleichgradige DGL ÄhnlichkeitsDGL.
Du kannst das auch umschreiben zu y'=(y^2-3xy)/x^2 und da sieht man schon die Bauart

y' = \frac{g (x, y)}{h (x, y)}

mit

g

und

h

von gleichem Grad 2.

P . S . :

Die Unterscheidung zwischen der Funktion

y (x),

dem Funktionsnamen

y

und der abhängigen Variablen

y

ist diffizil und ich kenne ehrlich gesagt niemanden, der diese Trennung immer konsequent zu vollziehen in der Lage (oder bereit dazu) wäre ;-)

ledum aktiv_icon

22:23 Uhr, 18.01.2018

Hallo
eigentlich schreibt man einfach

f (x, y)

sicher nie

f (\frac{x}{y})

denn

\frac{x}{y}

wirkt wie eine Variable mit

f = sin

ist

f (\frac{x}{y}) = sin (\frac{x}{y}) f = {()}^{2}

führt zu

{(\frac{y}{x})}^{2}

usw.
du hast doch eine Funktion, die von 2 Variablen abhängt, von

x

und

y

.
Gruß ledum

Roman-22

22:29 Uhr, 18.01.2018

>

du hast doch eine Funktion, die von 2 Variablen abhängt, von

x

und

y

.
Nein, hat er nicht direkt. Er bezieht sich auf eine Charakterisierung einer Euler-homogen DGL, die er irgendwo gefunden hat und dort steht eben

y' = f (\frac{y}{x})

. Eine durchaus gängige Charakterisierung, aber eben auch irreführend.

ledum aktiv_icon

23:25 Uhr, 18.01.2018

Hallo
sorry, ich hab die anderen posts nicht angezeigt bekommmen oder übersehen. mein Beitrag war also sehr überflüssig.
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

13:23 Uhr, 19.01.2018

Danke euch, nun habe ich es begriffen.

Die Funktion

f

ist ja fest definiert inerhalb der Klammer, und dies kategorisiert eine bestimmte DGL in dem Beispiel. Würde ich einfach so ohne irgendwelche Festlegungen

f (x, y (x)) = \frac{x}{y (x)}

schreiben, dann ginge das auch. Aber hier bei der DGL ist es ja so, dass die Funktion fest steht, dass es eben der Quotient sein soll.

Okey, sehr schön, und ja, mir war bekannt, dass bei

f (x, y (x))

das

y (x)

die Funktion darstellt und

x

das frei wählbare Element.

Christian- aktiv_icon

13:24 Uhr, 19.01.2018

Danke,

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