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Darstellungsmatrix Bezüglich eines Polynoms
Universität / Fachhochschule
Tags: Abbildung, basis, darstellungsmatrix, Determinant, polynom
 
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Hallo Ihr Lieben, Es geht um Folgende Aufgabe: Gegeben sei der reelle Vekrotrraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 P2:= { a0+a1x+a2x^2} mit Basis B:={1,x,x^2}. Weiterhin sei die Abbildung f: V->V gegeben, die durch f: p(x)-> 3 p(x)+(-1-x+x^2) p'(x)+(2+3x-x^3) p''(x) gegeben. Zu Zeigen: 1) .., dass für beliebige p tatsächlich f(p)€V. 2.) bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich B 3.) ermitteln Sie die Determinante von f PS: mit p'(x) wird die Ableitung gemeint Mein Ansatz: 1) Leider weiß ich nicht genau wie ich hierbei vorgehen soll. Ich würde mich über ein/e Tipp/Lösung freuen. 2) folgendes habe ich mir Vorgestellt: ( Leider weiß ich nicht genau was genau mit p(x) gemeint ist und welche Funktion dies überhaupt ist, ich dachte erstmal es wäre 3 +(-1-x+x^2) +(2+3x-x^3) aber dies würde die ganze Funktion ändern, denn 3 +(-1-x+x^2) +(2+3x-x^3) Ungleich 3 p(x)+(-1-x+x^2) p'(x)+(2+3x-x^3) p''(x) deswegen nehme ich mal dies an --> p(x) = a0+a1x+a2x^2 3*(a0+a1x+a2x^2)+(-1-x+x^2)*(x+2*a2x)+(2+3x-x^3)*(2*a2) Jetzt würde ich B in die Gleichung einsetzen: P(1)= 3*(a0+a1+a2)+(-1)*(1+2*a2)+(4)*(2*a2) = 3a0+3a1+3a2-3-a2+8+4a2 = 3a0+3a1+6a2+5 P(x)=3*(a0+a1x+a2x²)+(-1-x+x²)*(x+2*a2x)+(2+3x-x³)*(2*a2) =3a0+3a1x+3a2x²-x-2*a2x-x²-2a2x²+x³+2a2x³+4a2+(3x*2a2)-2a2x³ ..... Dies ist das Chema und dann die Ergebnisse als Spaltenvektoren in einer Matrix Eintragen .. 3) Die Matrix von 2) dann mithilfe der Formel für die Determinantenberechnung rechnen.. ICh würde mich über jede Lösung Freuen bzw. Ansatz Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Gilt bei dir und ist die Aufgabe richtig gestellt ? ich hatte letztes Semester sehr ähnliche Aufgaben bekommen aber die sieht falsch gestellt auf, falls ich mich täusche muss jemand anderes dir helfen ;-) |
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Hallo :-) Also ich habe die Aufgabenstellung nochmal als Datei hochgeladen, aber wenn ich mich nicht irre, dann müsste sie eigentlich richtig aufgeschrieben haben :-D)  |
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Okay ich helfe dir mal mit der 2 so wie ich sie verstehe: also was du tun musst ist folgendes: du setzt für jeweils ein Element der Basis ein, und stellst die entstehenden Gleichungen mit der Basis da: also folgendes für gilt dann das was rauskommt stellst du nun mit dar und wiederholst dies mit und |
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Hallo, ich würde dringend beim Aufgabensteller nachfragen, was statt da stehen soll. Man findet als Bild des Polynoms etwas, was NICHT mehr in liegt, da der Grad dann mindestens 3 ist. Also nachfragen, statt doppelt bearbeiten. Mfg Michael |
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Habe ich auch gedacht aber wenn man einsetzt verschwindet die dritte Potenz, meine ich falls ich richtig gerechnet habe |
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Damit wäre die auch im Grunde beantwortet wenn man dies für allgemeines zeigen würde und könnte |
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Hallo, ...Unfug gelöscht. Tatsächlich. Hätte mal genauer hinschauen sollen... Mfg Michael |
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Ja nicht schlimm, du hattest mir schon manch eine Sache erklärt die ich bis heute noch nicht ganz kapiert habe :-). Also auch die klügsten machen Fehler ;-). |
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Hallo, @JaBaa: Siehe meine Änderung oben. @LanaElien: Zu 1.: Nimm ein allgemeines Polynom aus , etwa . Berechne sein Bild. Wenn, wie JaBaa richtig herausstellt, das Bild ebenfalls ein Polynom höchstens 2. Grades ist, ist 1. beantwortet. Zu 2.: Gegenfrage: Weißt du, wie man bei einer beliebigen linearen Abbildung ( beliebiger endlichdimensionaler(!) Vektorraum) und einer beliebigen Basis arbeitet? Habt ihr dazu Beispiele in der Vorlesung gemacht? 3. macht ja erst Sinn, wenn du die Matrix aufgestellt hast. Mach erst einmal 1. Mfg Michael |
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ich muss jetzt auch weg bis dann, und viel erfolg noch :-). |
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Alsoo ICh schreibe mal die Aufgabe so auf, wie ich die jetzt beantworten würde 1) Ich habe es noch nicht wirklcih verstanden , wie ich diese Verallgemeinern soll?? 2) Folgendes gilt: Gegeben Sei die Basis:={1,x,x²} P(1)= 3*1+(-1-x+x²)*0 +(2+3x-x³)*0 = 3 P(x)= 3*x+(-1-x+x²)*1 +(2+3x-x³)*0 = 3x-1-1x+1x² = x²+2x-1 P(x²)= 3*x²+(-1-x+x²)*2x +(2+3x-x³)*2 =3x²-2x-2x²+2x³+4+6x-2x³ = x²+4x+4 Somit sieht die Darstellungsmatrix wie folgt aus: 3 -1 4 0 +2 4 0 +1 1 3) Die Determinante sieht wie folgt aus: 3 -1 4 0 +2 4 = (3*2*1)+ ((-1)*4*0)+(4*0*1)-(4*2*0)-((-1)*0*1)-(3*4*1) = -6 0 +1 1 Ist das so richtig? |
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Oh hab deine Antwort erst jetzt gelesen, ich überarbeite nochmal meine Antwort und stelle diese danach nochmal ein |
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Hallo, wenn ich mal kurz zwischenfunken darf? Deine Matrix und die Determinante sind richtig! Gruß ermanus |
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Super danke, hast du vllt eine Idee was micha. Mit aufgabe 1) meint? Ich hab das Vorgehen noch nicht wirklich verstanden. Lg |
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Du musst ja für 1) noch zeigen, dass die Bilder von wieder in landen. Nimm also ein beliebiges und zeige, dass wieder ein Polynom höchstens 2-ten Grades ist. |
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Wäre es dann so richtig : 3*(ax^2+bx+c)+(-1-2x+x^2)*(2ax+b)+(2+3x-x^3)*(2a) =3ax^2+3bx+3c-2ax-b-4ax^2-2bx+2ax^3+bx^2+4a+6ax-2ax^3 =-ax^2+bx+3c+4ax-b+4a...... Ist der Ansatz richtig?? Danke im Voraus |
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Ja,so ist das richtig :-) Gruß ermanus |
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