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Darstellungsmatrix Bezüglich eines Polynoms

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung, basis, darstellungsmatrix, Determinant, polynom

 
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LanaElien

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14:18 Uhr, 31.05.2020

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Hallo Ihr Lieben,

Es geht um Folgende Aufgabe:

Gegeben sei der reelle Vekrotrraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 2
P2:= { a0+a1x+a2x^2} mit Basis B:={1,x,x^2}.

Weiterhin sei die Abbildung f: V->V gegeben, die durch
f: p(x)-> 3 p(x)+(-1-x+x^2) p'(x)+(2+3x-x^3) p''(x) gegeben.

Zu Zeigen:

1) .., dass für beliebige p tatsächlich f(p)€V.
2.) bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich B
3.) ermitteln Sie die Determinante von f

PS: mit p'(x) wird die Ableitung gemeint

Mein Ansatz:

1) Leider weiß ich nicht genau wie ich hierbei vorgehen soll. Ich würde mich über ein/e Tipp/Lösung freuen.

2) folgendes habe ich mir Vorgestellt:

( Leider weiß ich nicht genau was genau mit p(x) gemeint ist und welche Funktion dies überhaupt ist, ich dachte erstmal es wäre 3 +(-1-x+x^2) +(2+3x-x^3)
aber dies würde die ganze Funktion ändern, denn
3 +(-1-x+x^2) +(2+3x-x^3) Ungleich 3 p(x)+(-1-x+x^2) p'(x)+(2+3x-x^3) p''(x)

deswegen nehme ich mal dies an --> p(x) = a0+a1x+a2x^2

3*(a0+a1x+a2x^2)+(-1-x+x^2)*(x+2*a2x)+(2+3x-x^3)*(2*a2)

Jetzt würde ich B in die Gleichung einsetzen:
P(1)= 3*(a0+a1+a2)+(-1)*(1+2*a2)+(4)*(2*a2)
= 3a0+3a1+3a2-3-a2+8+4a2
= 3a0+3a1+6a2+5

P(x)=3*(a0+a1x+a2x²)+(-1-x+x²)*(x+2*a2x)+(2+3x-x³)*(2*a2)
=3a0+3a1x+3a2x²-x-2*a2x-x²-2a2x²+x³+2a2x³+4a2+(3x*2a2)-2a2x³
..... Dies ist das Chema und dann die Ergebnisse als Spaltenvektoren in einer Matrix Eintragen ..

3) Die Matrix von 2) dann mithilfe der Formel für die Determinantenberechnung rechnen..

ICh würde mich über jede Lösung Freuen bzw. Ansatz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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JaBaa

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14:52 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Gilt bei dir P2=V und ist die Aufgabe richtig gestellt ? ich hatte letztes Semester sehr ähnliche Aufgaben bekommen aber die sieht falsch gestellt auf, falls ich mich täusche muss jemand anderes dir helfen ;-)
LanaElien

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15:31 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo :-)
Also ich habe die Aufgabenstellung nochmal als Datei hochgeladen, aber wenn ich mich nicht irre, dann müsste sie eigentlich richtig aufgeschrieben haben :-D)



5B1B0C9F-5060-4F8C-A9BC-8D2E653605E6
Antwort
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

15:46 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Okay ich helfe dir mal mit der 2 so wie ich sie verstehe:

also was du tun musst ist folgendes:

du setzt für p(x) jeweils ein Element der Basis B ein, und stellst die entstehenden Gleichungen mit der Basis B da:

also folgendes für p(x)=1 gilt dann

31+(-1-2x+x2)1'+(2+3x-x3)1''

das was rauskommt stellst du nun mit B dar und wiederholst dies mit x und x2
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:05 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,

ich würde dringend beim Aufgabensteller nachfragen, was statt (2+3x-x3) da stehen soll.

Man findet als Bild des Polynoms x2 etwas, was NICHT mehr in V liegt, da der Grad dann mindestens 3 ist.

Also nachfragen, statt doppelt bearbeiten.

Mfg Michael
Antwort
JaBaa

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16:09 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Habe ich auch gedacht aber wenn man x2 einsetzt verschwindet die dritte Potenz, meine ich falls ich richtig gerechnet habe
Antwort
JaBaa

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16:14 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Damit wäre die 1) auch im Grunde beantwortet wenn man dies für allgemeines V zeigen würde und könnte
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michaL

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16:19 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,

...Unfug gelöscht.

Tatsächlich. Hätte mal genauer hinschauen sollen...

Mfg Michael
Antwort
JaBaa

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16:24 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ja nicht schlimm, du hattest mir schon manch eine Sache erklärt die ich bis heute noch nicht ganz kapiert habe :-). Also auch die klügsten machen Fehler ;-).
Antwort
michaL

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16:35 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,

@JaBaa: Siehe meine Änderung oben.

@LanaElien:
Zu 1.: Nimm ein allgemeines Polynom aus V, etwa ax2+bx+c. Berechne sein Bild. Wenn, wie JaBaa richtig herausstellt, das Bild ebenfalls ein Polynom höchstens 2. Grades ist, ist 1. beantwortet.

Zu 2.: Gegenfrage: Weißt du, wie man bei einer beliebigen linearen Abbildung φ:WW (W beliebiger endlichdimensionaler(!) Vektorraum) und einer beliebigen Basis arbeitet?
Habt ihr dazu Beispiele in der Vorlesung gemacht?

3. macht ja erst Sinn, wenn du die Matrix aufgestellt hast. Mach erst einmal 1.

Mfg Michael
Antwort
JaBaa

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16:38 Uhr, 31.05.2020

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ich muss jetzt auch weg bis dann, und viel erfolg noch :-).
LanaElien

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16:54 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Alsoo ICh schreibe mal die Aufgabe so auf, wie ich die jetzt beantworten würde

1) Ich habe es noch nicht wirklcih verstanden , wie ich diese Verallgemeinern soll??

2)
Folgendes gilt:

Gegeben Sei die Basis:={1,x,x²}

P(1)= 3*1+(-1-x+x²)*0 +(2+3x-x³)*0 = 3
P(x)= 3*x+(-1-x+x²)*1 +(2+3x-x³)*0 = 3x-1-1x+1x² = x²+2x-1
P(x²)= 3*x²+(-1-x+x²)*2x +(2+3x-x³)*2 =3x²-2x-2x²+2x³+4+6x-2x³ = x²+4x+4

Somit sieht die Darstellungsmatrix wie folgt aus:

3 -1 4
0 +2 4
0 +1 1

3) Die Determinante sieht wie folgt aus:

3 -1 4
0 +2 4 = (3*2*1)+ ((-1)*4*0)+(4*0*1)-(4*2*0)-((-1)*0*1)-(3*4*1) = -6
0 +1 1

Ist das so richtig?


LanaElien

LanaElien aktiv_icon

16:56 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Oh hab deine Antwort erst jetzt gelesen, ich überarbeite nochmal meine Antwort und stelle diese danach nochmal ein
Antwort
ermanus

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17:48 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,
wenn ich mal kurz zwischenfunken darf?
Deine Matrix und die Determinante sind richtig!
Gruß ermanus
LanaElien

LanaElien aktiv_icon

18:37 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Super danke, hast du vllt eine Idee was micha. Mit aufgabe 1) meint? Ich hab das Vorgehen noch nicht wirklich verstanden.
Lg
Antwort
ermanus

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18:46 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Du musst ja für 1) noch zeigen, dass die Bilder von f wieder in P2
landen. Nimm also ein beliebiges pP2 und zeige, dass
f(p) wieder ein Polynom höchstens 2-ten Grades ist.
LanaElien

LanaElien aktiv_icon

21:39 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Wäre es dann so richtig :

3*(ax^2+bx+c)+(-1-2x+x^2)*(2ax+b)+(2+3x-x^3)*(2a)
=3ax^2+3bx+3c-2ax-b-4ax^2-2bx+2ax^3+bx^2+4a+6ax-2ax^3
=-ax^2+bx+3c+4ax-b+4a......

Ist der Ansatz richtig??
Danke im Voraus
Antwort
ermanus

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21:49 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ja,so ist das richtig :-)

Gruß ermanus