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Darstellungsmatrix Spurfunktion

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Spurfunktion

Didgeridoo aktiv_icon

22:08 Uhr, 05.11.2010

Ich soll das Bild und die Darstellungsmatrix der Spurfunktion Mat(nxn,K)

\to K

angeben.
Das Bild ist ja einfach:
im

f : {x, x \in K},

das kann man ja nicht irgendwie noch konkretisieren oder?
Bei der Darstellungsmatrix komm ich dann überhaupt nicht weiter. Wie kann ich eine Matrix A finden sodass

A \cdot B = x \in K

(B

wäre die ursprüngliche Matrix Mat (nxn,

K))

Das müsste ja so eine Art Skalarprodukt auf Matrizen sein?!
Vielen Dank für eure Hilfe!!

Mathe-Steve aktiv_icon

23:14 Uhr, 05.11.2010

Hallo,

wähle eine Basis in Mat(nxn,K), z.B. die Matrizen, die an genau einer Stelle eine 1 haben.

Jede nxn Matrix ist dann Linearkombination dieser n² B's

Die Koordinatendarstellung einer nxn Matrix ist dann ein n²x1 Vektor.

Die abbildende Matrix ist dann ein 1xn² Zeilenvektor, der an (den richtigen) n Stellen eine 1 hat und sonst Nullen.

Gruß

Stephan

Didgeridoo aktiv_icon

23:53 Uhr, 05.11.2010

Ach so, ja das hat mir schon sehr geholfen:
Ich hab' das mal mit einer

2 x 2

Matrix durchgespielt.
Die Abbildungen der Basisvektoren wären dann:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \to 1

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \to 0

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \to 0

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \to 1

Die darstellende Matrix wäre entsprechend:

(1,0,0,1)

Jetzt muss ich das nur noch irgendwie allgemein hinbringen...

Das Bild kann man nicht anders schreiben als Im

f = {x \in K}

oder?

Mathe-Steve aktiv_icon

09:07 Uhr, 06.11.2010

Warum nicht einfach Im(f)=K?

Definiere Dir das Kroneckersymbol d_ij=1 für

i = j

und 0 sonst.
B_ij = (d_ij) sind Deine Basismatrizen.
Die Koordinatendarstellung von B_ij ist denn der Vektor

b_{k}

mit den Einträgen

d_{k}, ((i - 1) \cdot n + j) .

Die Abbildungsmatrix (Zeilenvektor) muss jetzt an den Stellen mit

i = j

eine 1 haben und sonst 0. Das sind die Ste1len

1, n + 2, 2 n + 3, ... (n - 1) \cdot n + n

. und sonst 0.

Didgeridoo aktiv_icon

11:08 Uhr, 06.11.2010

Vielen Dank, du hast mir wieder mal das Leben gerettet!!

Mathe-Steve aktiv_icon

12:18 Uhr, 06.11.2010

Gerne - und ganz so dramatisch wird es ja auch nicht sein.

Bitte denke das aber noch einmal durch, ob meine Umwandlung der quadratischen Matrix-Darstellung b_ij in eine Spalte (alle Zeilen hintereinander und dann transponiert) auch wirklich stimmt. Das habe ich so nebenbei gestrickt.

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