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Darstellungsmatrix einer allgemeinen Projektion
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Vektorräume
Tags: darstellungsmatrix, endlich dimensional, Linear Abbildung, Projektion, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe folgende Übungsaufgabe bekommen und weiß nicht wie sie lösen soll: Sei ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, ⊂ ein Untervektorraum und ein Komplement von . Also gilt nach Definition ⊕ und jeder Vektor ∈ lässt sich eindeutig als mit ∈ und ∈ schreiben. Wir definierien . Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix bezüglich einer geeignet gewählten Basis von V. Durch Analogiebetrachtung habe ich mir Folgendes überlegt: Das ist eine Projektion, wo man einfach "rauswirft". Bei der Projektion von auf die x-Achse wäre die Darstellungsmatrix so: Würde man nun von auf die x-Achse projizieren, dann wäre das die Matrix und würde man von auf die Ebene projizieren, wäre das die Matrix Mein Problem ist, dass ich doch nicht weiß, wieviele Dimensionen oder haben. Wie kann ich dann die Darstellungsmatrix angeben? Sie kann ja beliebig groß sein und beliebig viele in der Diagonale haben. Waren meine Überlegungen dazu richtig? In der Aufgabenstellung steht, man soll sich eine "geeignete Basis" wählen. Ist dann die naheliegende Standardbasis eine falsche Wahl? Mir fällt leider keine andere Basis ein. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich das lösen könnte? MfG, Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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"Mein Problem ist, dass ich doch nicht weiß, wieviele Dimensionen V,U oder W haben. Wie kann ich dann die Darstellungsmatrix angeben? Sie kann ja beliebig groß sein und beliebig viele 1 in der Diagonale haben." Na und? Das ist doch kein Problem. Das sieht dann so aus: Und mit Worten schreibt man z.B.: Einse auf der Diagonale, alles Andere . "Waren meine Überlegungen dazu richtig? In der Aufgabenstellung steht, man soll sich eine "geeignete Basis" wählen. Ist dann die naheliegende Standardbasis eine falsche Wahl?" Bei Deinen Proektionen - nicht. Aber z.B. bei der Projektion in wäre es die falsche Wahl. "Mir fällt leider keine andere Basis ein." Dabei gibt's unendlich viele. Du musst zuerst eine orthogonale Basis innerhalb von wählen, und dann sie zu einer orthogonalen Basis von ganz vervollständigen. Du musst dabei keine konkrete Basis schreiben! Das ist eine theoretische Aufgabe. |
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Hallo zusammen! Der Begriff der Orthogonalität scheint mir hier keinen Sinn zu ergeben; schließlich ist ja nicht als euklidischer oder unitärer Vektorraum gegeben. (Es muss ja nicht einmal oder gelten.) Aber es bietet sich an, eine beliebige Basis von und eine beliebige Basis von zu wählen und diese beiden "Unterraumbasen" zu einer Basis von ganz "zusammenzusetzen". Viele Grüße Tobias |
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Ja, Orthogonalität ist nur wichtig, wenn es eine orthogonale Projektion sein muss. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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