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Darstellungsmatrix eines Skalarprodukts

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: darstellungsmatrix, Skalarprodukt

Vice-sin aktiv_icon

13:40 Uhr, 21.06.2012

Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe bei der ich an einer Stelle eine kleine Hilfe bräuchte:

"Es sei

V = ℝ {[X]}_{\leq 2}

der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad

\leq 2

und

f

sei das Skalarprodukt

f : V x V \to ℝ, (p, q) \to \int_{0}^{1} (p \cdot q) d x

(a)

Bestimmen Sie die Darstellunsmatrix

A \in ℝ^{3 x 3}

bezüglich der geordneten Basis

(1, x + 1, x^{2} + x,1)

von V.
(b)Bestimmen Sie ein

r \in V

mit

f (r, p) = p (1)

für alle

p \in V

Hinweis: Verwenden Sie die Darstellungsmatrix."

So,
was ich gemacht habe:

(a)

Habe mir überlegt, die Darstellungsmatrix des Skalarprodukts ergibt sich ja daraus, dass

a_{i, j} = < v_{i}, v_{j} >

ist. Also habe ich die 9 Skalarprodukte (bzw. nur

6,

da ich mir 3 durch die Symmetrie schenken kann) ausgerechnet und komme dann auf folgende Darstellungsmatrix:

A = (\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{11}{6} \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{3} & \frac{35}{12} \\ \frac{11}{6} & \frac{35}{12} & \frac{37}{10} \end{matrix})

(b)

So, mein

r \in V

hat die Gestalt:

α x^{2} + β x + γ

. Ich soll ja nun die Darstellungsmatrix verwenden, jedoch ist mir überhaupt nicht klar, wie ich das tun soll.
Es ist wahrscheinlich relativ trivial, dennoch hoffe ich, dass mir da jemand kurz helfen könnte. (Meine Darstellungsmatrix ist schon richtig oder?)

Vielen Dank im Vorraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

pwmeyer aktiv_icon

13:54 Uhr, 21.06.2012

Hallo,

wenn das gesuchte

r \in V

den Koordinatenvektor a hat und das "allgemeine"

p \in V

den Koordinatenvektor

b,

dann soll doch gelten:

a^{T} \cdot A \cdot b = p (1) = h^{T} \cdot b

mit

h^{T} = (1,2,2)

Gruß pwm

Vice-sin aktiv_icon

15:13 Uhr, 21.06.2012

okay,
zunächst mal vielen Dank für die schnelle Antwort, habe jedoch noch zwei Rückfragen:

1)

Generell hab ich das verstanden, jedoch ist mir nicht klar wie du auf

h^{T}

kommst/was das is?

2)

Dann gilt es ja quasi die Matrix mit den Gleichungen
I:

1 a_{1} + \frac{3}{2} a_{2} + \frac{11}{6} a_{3} = 1

II:

\frac{3}{2} a_{1} + \frac{7}{3} a_{2} + \frac{35}{12} a_{3} = 2

III:

\frac{11}{6} a_{1} + \frac{35}{12} a_{2} + \frac{37}{10} a_{3} = 2

zu lösen oder? Da erhalte ich dann als Lösung

a_{1} = - 183

a_{2} = 306

a_{3} = - 150

Also sähe mein

r

ja so aus:

r = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 183 \\ 306 \\ - 150 \end{matrix})

in Koordinatenform.
Als Polynom also

r = a_{1} \cdot v_{1} + a_{2} \cdot v_{2} + a_{3} \cdot v 3 = - 183 \cdot 1 + 306 \cdot (x + 1) + (- 150) \cdot (x^{2} + x + 1) = - 150 x^{2} + 456 x - 27

.

Das ist aber offenbar nicht richtig, habe das einfach mal für

p = x^{2} + 2

ausprobiert und erhalte dann

f (r, p) = 377 \neq p (1) = 3

.
Was habe ich denn falsch gemacht?

pwmeyer aktiv_icon

10:21 Uhr, 22.06.2012

Hallo,

ich habe glaube ich die letzte Basisfunktion falsch gelesen.

Zu

h :

Die Basisfunktionen seien

p_{1}, p_{2}, p_{3},

dann ist:

p = b_{1} \cdot p_{1} + b_{2} \cdot p_{2} + b_{3} \cdot p_{3} \Rightarrow p (1) = p_{1} (1) \cdot b_{1} + p_{2} (1) \cdot b_{2} + p_{3} (1) \cdot b_{3} = 1 \cdot b_{1} + 2 \cdot b_{2} +

\cdot b_{3}

Gruß pwm

Vice-sin aktiv_icon

10:26 Uhr, 22.06.2012

ahhh, also mache ich das ganze nochmal mit

h^{T} = {(1,2,3)}^{T}

.
Dann erhalte ich als Lösung der Matrix

a = (\begin{matrix} 27 \\ - 54 \\ 30 \end{matrix}),

also

r = 27 \cdot 1 + (- 54) \cdot (x + 1) + 30 \cdot (x^{2} + x + 1) = 30 x^{2} - 24 x - 3

.

Habe das nun für

p = 2 x^{2} + 4

ausprobiert und komm leider auf

f (r, p) = - 22 \neq 6 = p (1) ...

.

Edit: Ah habe da nen Vorzeichen fehler gemacht,

r = 30 x^{2} - 24 x + 3

. und dann astimmts auch

=)

Also vielen vielen Dank!

Vice-sin aktiv_icon

12:00 Uhr, 22.06.2012

Vielen Dank!

pwmeyer aktiv_icon

12:05 Uhr, 22.06.2012

Hallo,

hast Du den Fehler gefunden?

Gruß pwm

EDIT: Habe Dein Edit zu spät gesehen

Vice-sin aktiv_icon

12:30 Uhr, 22.06.2012

Doch noch eine Frage:
In der Teilaufgabe

c)

soll ich das orthogonale Komplement zu

U := < 1, X > \subseteq V

bestimmen.
Das mache ich doch indem ich die gegebene Vektoren 1 und

X

bezüglich der basis als Zeilenvektoren schreibe und dieses Matrix dann mit meiner Darstellungsmatrix multipliziere:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{11}{6} \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{3} & \frac{35}{12} \\ \frac{11}{6} & \frac{35}{12} & \frac{37}{10} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{11}{6} \\ \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{13}{12} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & 9 & 11 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}),

davond die Lösung bestimme:

< (\begin{matrix} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) >

. So und nun muss ich das ja noch in Polynome übertragen oder?
Aber wie?

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