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Darstellungsmatrix von Polynomfunktion

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: darstellungsmatrix, Matrizenrechnung, polynom

Marcell025 aktiv_icon

11:33 Uhr, 21.08.2017

Für beide Aufgaben(siehe Bilder) habe ich die Lösungen, jedoch verstehe ich sie nicht. Ich vermute, dass es bei beiden Aufgaben am selben Punkt scheitert..

Die kanonische Basis ist

(1, t, t^{2}, t^{3})

und bei Aufgabe 4 kommt noch

t^{4}

dazu.

Zur ersten Aufgabe ("Aufgabe 4b"):
Die Darstellungsmatrix wird ja immer berechnet, indem ich die einzelnen Basiselemente in die Funktion einsetze und das Bild schliesslich als Linearkombination der Basisvektoren schreibe, was schliesslich die Einträge in der Matrix ergibt.

Nun setze ich also einmal die 1 ein:
Laut Lösung ergibt dies

f (1) = {(1 + 1)}^{0} = 1

Meiner Meinung nach sollte es aber:

f (1) = {(1 + 1)}^{0} + {(1 + 1)}^{1} + {(1 + 1)}^{2} + {(1 + 1)}^{3} + {(1 + 1)}^{4} = 30

ergeben
Meine Frage ist also: Wieso wird nur bis

i = 0

summiert?

Gleiche Frage für wenn ich

t

einsetze:
Lösung:

f (t) = t + 1

Setze ich

t^{2}

ein:
Lösung:

f (t^{2}) = {(t + 1)}^{2}

Jetzt verstehe ich gar nichts mehr... Ich setze doch

t^{2}

für

t

in die Funktion ein???

Für

t^{3} : {f (t + 1)}^{3}

Für

t^{4} : {f (t + 1)}^{4}

Zu Aufgabe

3 a :

Setze ich

1

in die Funkion ein:
Lösung:

f (1) = 1 - 1 = 0

Meiner Meinung nach sollte es doch

f (1) = P (1) - P (1 - 1) = 1

sein
Oder wird nicht 1 für

t

eingesetzt?

Für

t :

Lösung:

f (t) = t - (1 - t)

Für

t^{2} :

Lösung:

f (t^{2}) = t^{2} - {(1 - t)}^{2}

Meine Meinung:

f (t^{2}) = t^{2} - (1 - t^{2})

Wieso wird die Klammer quadriert?

Ich hoffe, jemand kann mir helfen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ermanus aktiv_icon

12:19 Uhr, 21.08.2017

Hallo,
du hast hier ein grundsätzliches Verständnisproblem. Es wird hier nirgendwo

1

t

eingesetzt. Du suchst das Bild des Polynoms

1 = a_{0} \cdot t^{0} + a_{1} \cdot t^{1} + a_{2} \cdot t^{2} + a_{3} \cdot t^{3} + a_{4} \cdot t^{4}

,
wobei also

a_{0} = 1, a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = 0

ist.
Hieraus ergibt sich

f (1) = 1 \cdot (1 + t)^{0} + 0 \cdot (1 + t)^{1} + 0 \cdot (1 + t)^{2} + 0 \cdot (1 + t)^{3} + 0 \cdot (1 + t)^{4} = 1

.
Nun du wieder ;-)

Gruß ermanus

HilbertRaum aktiv_icon

13:19 Uhr, 21.08.2017

f \in L (V)

Dann ist f eindeutig festgelegt durch Angabe der Basisbildvektoren

f (t^{k}) \in V

.
Die Bilder kennst du:

f (t^{k}) = (1 + t)^{k}, 0 \leq k \leq 4

Also z.B.

f (t^{2}) = (1 + t)^{2} = 1 + 2 t + t^{2} = \sum_{k = 0}^{4} a_{k 2} t^{k}

Damit hast du folgende Koeff-Spalte:

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Nun fällt dir bestimmt grad ein, dass die Koeffizienten die Darstellungsmatrix liefern, denn die Menge der (nxm) Matrizen über

ℝ

bilden ebenfalls einen VR, der isomorph zu L(V) ist.

Marcell025 aktiv_icon

17:01 Uhr, 21.08.2017

"Es wird hier nirgendwo

1 \in t

eingesetzt"
Das verstehe ich jetzt nicht. Ist es denn nicht eine Funktion mit der Variablen t?

Wieso wird nicht bis 4 summiert? Im Fall wo 1 eingesetzt wird, ist ja

i = 0

und somit sollte ich Terme von

i = 0,1,2,3,4

erhalten..

Ich verstehe es leider noch kein bisschen mehr.

: - (

Marcell025 aktiv_icon

17:02 Uhr, 21.08.2017

Die Antwort von Hilbertraum verstehe ich nicht, da das Niveau der Antwort zu hoch ist. Danke aber trotzdem!

ermanus aktiv_icon

17:21 Uhr, 21.08.2017

Wenn du dir die Abbildungsvorschrift von

f

in der Aufgabe 4 anschaust, siehst du,
dass unter

f

der Wert

1 + t

in die Unbestimmte

t

der Polynome eingesetzt wird.
Hier wird nirgendwo in

t

eine

1

eingesetzt.
Speziell für das Polynom

P = 1

bedeutet dies, dass du überall, wo in diesem
Polynom

t

vorkommt, stattdessen

1 + t

schreiben sollst.
Da in diesem Falle in

P

gar kein

t

vorkommt, ist dann

F (P) = f (1) = 1

,
da ja gar nichts ersetzt wird.
Nehmen wir nun das Polynom

P = t

f (P)

erhalten wir, indem wir für

t

den
Wert

1 + t

einsetzen, d.h.

f (t) = 1 + t

, entsprechend ist
bei

P = t^{2}

in das

t

der Wert

1 + t

einzusetzen:

f (t^{2}) = (1 + t)^{2}

, usw. ...

Marcell025 aktiv_icon

17:43 Uhr, 21.08.2017

Ah jetzt verstehe ich! Dies war mein Verständnisproblem und so erschliesst sich mir nun Aufgabe 3 und

4!

Vielen Dank!!

Eine Frage bleibt:
Muss ich also im Fall "Darstellungsmatrix für Polynome" auf die Vorstellung "Basisvektoren einsetzen in Funktion und Bilder ausdrücken in Linearkombination der Basis" verzichten, da ich in diesem Fall nichts explizit einsetze, sondern stattdessen etwas ersetze

(t

durch

t + 1,

etc.) und anschliessend die Linearkombination finde?

ermanus aktiv_icon

17:52 Uhr, 21.08.2017

Es ist schwierig, sich ein Bild über deine Vorstellungen zu machen ;-)
Nehmen wir als Beispiel

f (t^{2}) = (1 + t)^{2} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot t + 1 \cdot t^{2} + 0 \cdot t^{3} + 0 \cdot t^{4}

.
Die Koeffizienten in dieser Linearkombination bzgl. der Basis

{1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}}

sind

1, 2, 1, 0, 0

. Daher lautet die 3-te Spalte der Darstellungsmatrix, die zu

f (t^{2})

gehört:

(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Jetzt siehst du vielleicht, was Hilbertraum dir mitteilen wollte.

Marcell025 aktiv_icon

13:38 Uhr, 22.08.2017

Vielen Dank!

Marcell025 aktiv_icon

13:55 Uhr, 05.09.2017

Ich habe noch eine Rückfrage zu Aufgabe 3:
Für

P = 1

kann ich doch auch kein

t

ersetzen. Wieso ergibt aber

f (1) = 0

?
(Lösung:

f (1) = 1 - 1 = 0)

ermanus aktiv_icon

14:07 Uhr, 05.09.2017

Wenn du in dem Polynom

P = 1

überall da, wo

t

vorkommt, dieses durch

1 - t

ersetzt, kommt doch wieder das Polynom

P = 1

heraus; denn es kommt ja nirgendwo

t

vor!

Marcell025 aktiv_icon

17:25 Uhr, 11.09.2017

Ich habe mir die Sache nocheinmal genau überlegt und bin zum Schluss gekommen, dass die Vorstellung, dass etwas eingesetzt wird doch irgendwie stimmen muss... @ermanus: Ich glaube, so
hattest du das gemeint:
Begründung:
1 ist

t^{0}

. Jetzt kann ich für

t

die

(1 - t)

einsetzen und es kommt 1 heraus. Genau so wie es sein muss..

Liege ich richtig?

ermanus aktiv_icon

18:03 Uhr, 11.09.2017

Ja, das ist so richtig.
Am Anfang des Threads hattest du aber die

1

im Ausdruck

f (1)

in die Unbestimmte

t

eingesetzt, wobei aber doch

f

gar kein Polynom war, sondern eine Zuordnungsvorschrift,
die einem Polynom ein anderes als Bild zuordnet. Da lag im Anfang das Missverständnis.
Dass eine Zuordnungsvorschrift, die einem Polynom ein anderes zuordnet, so realisiert sein
kann, dass man eine Einsetzung in die Unbestimmte vornimmt, ist aber ein ganz spezieller
Fall (siehe "Einsetzungshomomorphismus").

Marcell025 aktiv_icon

19:43 Uhr, 11.09.2017

"Am Anfang des Threads hattest du aber die

11

im Ausdruck

f (1) f (1)

in die Unbestimmte

eingesetzt, wobei aber doch ff gar kein Polynom war, sondern eine Zuordnungsvorschrift,
die einem Polynom ein anderes als Bild zuordnet. "

Ja, genau, so habe ich das mit "@ermanus: Ich glaube, so hattest du das gemeint:" gemeint. Ich habe nämlich erst heute "tiefgründig" verstanden, was du mir erklären wolltest.

Vielen Dank für die Hilfe! So bin ich wirklich weitergekommen!!

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