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Das Dosenproblem - Aufgabe

Schüler

Tags: Minimum, Radius, volum

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18:52 Uhr, 19.09.2020

Hallo ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe die mir gestellt wurde.

Sie lautet:

Eine Dose soll bei einem Vorgegebenen Volumen so hergestellt werden, dass möglichst wenig Blech benötigt wird.
Ihre Aufgabe besteht darin, für ein Dosenvolumen von 850ml die Abmessungen der Dose (Radius und Höhe) so zu bestimmen, dass möglichst wenig Blech benötigt wird.

Meine bisheringen Ansätzte haben mich nicht besonders weit gebracht.
Ich habe versucht mit der Formel der Oberfläche des Zylinders und des Volumens zu arbeiten.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

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19:00 Uhr, 19.09.2020

.
du hast zwei Parameter

\to

Radius

r .

. und Höhe

h

schreibe damit die beiden Formeln

\to

für die Oberfläche

A = . .

.
und

\to

für das Volumen

V = . .

.
deiner Dose erst mal auf ..
dann sehen wir weiter

.

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19:01 Uhr, 19.09.2020

V = r^{2} \cdot π \cdot h = 850

(cm^3)

h = \frac{850}{r^{2} \cdot π}

O = 2 \cdot r^{2} \cdot π + 2 \cdot r \cdot π \cdot h

h

einsetzen:

. .

.

Berechne dann

O' (r) = 0

r = . .

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19:08 Uhr, 19.09.2020

"Radius

r .

. und Höhe

h . .

.
schreibe damit die beiden Formeln → für die Oberfläche

A = . .

.
und → für das Volumen V=...deiner Dose erst mal auf .."

hm - habe damit eigentlich Xammmmmm gemeint.. :-)

.

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19:11 Uhr, 19.09.2020

Bis dorthin kam ich auch schon und es erschien mir logisch.
Ich habe jetzt nur noch

O

und

r

als Variable.
Was bringt es mir / welchen Zweck erfüllt das gleichsetzten der Ableitung mit 0?
Es ist mir bewusst dass man so die Extremstellen einer Funktion bestimmen kann, jedoch frage ich mich wie das mir nun weiterhilft.

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19:18 Uhr, 19.09.2020

O

taucht nicht mehr auf.
Leite den Term auf der rechten Seite ab, nachdem du

h

eingesetzt hast und setze
die Ableitung Null, wie oben schon beschrieben.
Die Ableitung liefert die Extremstellen, hier das Minimum für

r

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19:38 Uhr, 19.09.2020

Ok herzlichen dank jetzt habe ich die Herangehensweise verstanden.

Beim Ableiten kommt bei mir nun heraus:

F´(x)=

4 π r + . .

.

Beim Ableiten von dem Bruch mit

r

Hoch 2 im Nenner komme ich zu keinem Ergebnis.
Dann Gleich Null setzen un

r

berechnen. Und der Schritt für die Höhe ist selbsterklärend.

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19:49 Uhr, 19.09.2020

.
"Beim Ableiten von dem Bruch mit

r

Hoch 2 im Nenner.."

\to

bei dem zweiten Summanden kommt kein

r^{2}

im Nenner mehr vor ..

schreibe doch den zweiten Suimmanden nach dem

\to

Einsetzen von

h = \frac{850}{r^{2} π}

erst mal auf

\to .

F = 2 r^{2}

+ 2 r

h .

\Rightarrow

F = .

F' =

?

.

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20:25 Uhr, 19.09.2020

Ok jetzt bin ich ein bissl verwirrt.

: >

Mein fertiger Term den ich versuche Abzuleiten lautet:

O = 2 π r

+ 2 π r \cdot \frac{850}{π} \cdot

r"2.

Wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe (außer wie man den 2ten Summanden Ableitet)
Muss ich die Ableitung Null setzen und bekomme somit

r

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20:28 Uhr, 19.09.2020

.
Mann - du kannst doch den Bruch erst noch kürzen

!!

\to F = 2

r^{2} + \frac{2 π r 850}{π r^{2}}

\to F = .

\to F' = . .

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20:55 Uhr, 19.09.2020

Huch das habe ich wohl übersehen.
Danke für deine Hilfe :-)

rundblick aktiv_icon

20:58 Uhr, 19.09.2020

.
.

den Bruch beim zweiten Summanden kürzen mit

π \cdot r \to

\to F = 2

r^{2} + \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot 850}{π \cdot r^{2}}

\to F = 2

r^{2} + \frac{2 \cdot 850}{r}

also:

\to F = 2

r^{2} + 2 \cdot 850 \cdot r^{- 1}

\Rightarrow F' = 4 \cdot

r - 2 \cdot 850 \cdot r^{- 2}

\Rightarrow F' = 4 \cdot

\cdot r - \frac{4 \cdot 425}{r^{2}}

und dann: mit

F' = 0 . . \Rightarrow

WAS BEKOMMST DU NUN FÜR

r = .

. ? .. und dann für

h = .

. ?
.

Xammmmmm aktiv_icon

22:43 Uhr, 19.09.2020

Lösung:

r = 5,1

h = 10,4

cm

Danke für deine Hilfe!

Roman-22

00:42 Uhr, 20.09.2020

Die

5,1

cm sind gerundet richtig, aber die

10,4 c m

glaub ich dir nicht ganz.
Das sollte wohl (gerundet)

10,3 c m

lauten.
Genau genommen gilt ja

2 \cdot r = h = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{425}{π}}

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