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Das Gleichungssystem über den Körper Z7 lösen

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angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Gruppen, Körper, Matrizenrechnung, Relation.

Jvhannvs aktiv_icon

14:37 Uhr, 24.11.2023

Lo ̈se das Gleichungssystem
x−

y + 4 z = 12 x + y + 2 z = 2 x + 3 y + 2 z = 3

u

̈ber dem Ko ̈rper

Z 7

.

Ich habe die Gleichung erstmal mit dem Gauß Algorithmus gelöst, und der Körper

Z 7

sind doch die Restklassen Modulo 7 sprich von

0 - 6

. Aber wie das ganze jetzt zusammenhängt bzw, wie ich das Gleichungssystem über den Körper

Z 7

lösen soll, verstehe ich nicht. Vielleicht könnte mir da jemand weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

HAL9000

15:48 Uhr, 24.11.2023

> Ich habe die Gleichung erstmal mit dem Gauß Algorithmus gelöst,

Du meinst, ganz "normal" in

ℚ

?

Dann kannst du das Ergebnis doch direkt übertragen, du musst "nur" die Nenner

q

der Ergebnisbrüche durch die entsprechenden Werte

q^{- 1}

ℤ_{7}

ersetzen.

Kurzum: Wie lautet denn deine GLS-Lösung in

ℚ

Sukomaki aktiv_icon

15:49 Uhr, 24.11.2023

Hallo,

erstmal : Teilen durch eine Zahl entspricht im

ℤ_{7}

dem Malnehmen mit dem multiplikativen Inversen, aber das ist hier in diesem Beispiel gar nicht nötig.

Ausgangssituation :

Du hast das LGS

∣ \begin{array}{rcl} x - y + 4 z = 3 \\ 12 x + y + 2 z = 3 \\ 2 x + 3 y + 2 z = 3 \end{array} ∣

Wenn Du das mit Gauß auf Stufenform gebracht hast, solltest Du etwas erhalten wie

∣ \begin{array}{rcl} x - y + 4 z = 3 \\ 13 x + 6 z = 6 \\ - 152 z = - 126 \end{array} ∣

Zum Vereinfachen bestimmst Du die Koeffizienten modulo sieben und bekommst

∣ \begin{array}{rcl} x - y + 4 z = 3 \\ 6 x + 6 z = 6 \\ 5 z = 0 \end{array} ∣

Das Bestimmen von

x

y

und

z

ist jetzt einfach.

Zur Sicherheit kannst Du gerne die Probe machen, indem Du die Lösung in das LGS einsetzt.

Sukomaki

P.S. Weiß jemand, wie ich "|" bzw."\mid" über mehrere Zeilen schreiben kann?

Edit : Als ich den Post begonnen habe, wurde nicht angezeigt : "Es wird gerade geantwortet".

Also sorry für die Überschneidungen.

Jvhannvs aktiv_icon

17:57 Uhr, 24.11.2023

Also muss ich das gesamte Gleichungssystem als ersten Schritt modulo 7 rechnen und dann ausrechnen? Weil ich habe das Gleichungssystem ausgrechnet und die Lösungen modulo 7 gerechnet

HAL9000

19:36 Uhr, 24.11.2023

> Weil ich habe das Gleichungssystem ausgrechnet

Dazu hatte ich dir eine Frage gestellt, die du nicht beantwortet hast.

Jvhannvs aktiv_icon

17:32 Uhr, 25.11.2023

z = \frac{1}{3} y

und

x = \frac{2}{3}

HAL9000

17:42 Uhr, 25.11.2023

Bist du dir sicher? Kann natürlich auch sein, dass dir oben beim Gleichungssystem

x - y + 4 z = 12 x + y + 2 z = 2 x + 3 y + 2 z = 3

was missraten ist: Sollen das womöglich drei Zeilen sein, die bei dir versehentlich auf eine Zeile zusammengeklebt wurden? Korrigiere das bitte mal.

P.S.: Es ist frustrierend, dass man ständig soviel Pfusch bei den geposteten Formeln vorfindet. Ist es so schwer, nach dem Posten mal gegenzulesen, ob alles richtig angekommen ist?

Jvhannvs aktiv_icon

19:25 Uhr, 25.11.2023

Bin mir ziemlich sicher… also habe das rausbekommen und habs durch eine KI jagen lassen, da ist das gleiche rausgekommen

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19:25 Uhr, 25.11.2023

Bin mir ziemlich sicher… also habe das rausbekommen und habs durch eine KI jagen lassen, da ist das gleiche rausgekommen

Jvhannvs aktiv_icon

19:27 Uhr, 25.11.2023

Also wie gesagt,

x = \frac{1}{3} y = \frac{2}{3}

und

z = \frac{2}{3}

Sukomaki aktiv_icon

19:53 Uhr, 25.11.2023

Also das ist komisch, weil ich habe da

x = 1, y = 5, z = 0

raus.

Hat mit der Probe auch geklappt.

> habs durch eine KI jagen lassen

Na hoffentlich nicht ChatGPT oder Bing -
die sind notorisch fehleranfällig.

Anmerkung : bereits die erste Gleichung ist mit diesen Werten falsch :

\frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 4 \cdot \frac{2}{3} \neq 3

Jvhannvs aktiv_icon

20:03 Uhr, 25.11.2023

Durch Photomath. Aber wie würde es jetzt mit deinen Lösungen weitergehen?

HAL9000

20:08 Uhr, 25.11.2023

Meine Vermutung ist, dass Jvhannvs NICHT Gleichungssystem

x - y + 4 z = 12 x + y + 2 z = 2 x + 3 y + 2 z = 3

meint, sondern stattdessen

x - y + 4 z = 1

2 x + y + 2 z = 2

x + 3 y + 2 z = 3

.

Leider erfolgte keinerlein Reaktion auf meine diesbezügliche obige Nachfrage. Letzteres System hat in

ℚ

übrigens die Lösung

x = \frac{1}{3}, y = \frac{2}{3}, z = \frac{1}{3}

,

was in

ℤ_{7}

der Lösung

x = 5, y = 3, z = 5

entspricht.

Sukomaki aktiv_icon

20:13 Uhr, 25.11.2023

Da wir uns im

ℤ_{7}

befinden, musst Du noch die Restklassen modulo sieben betrachten.

D.h.

x + 7 k, y + 7 l

und

z + 7 m

mit

k, l, m \in ℤ

Jvhannvs aktiv_icon

20:18 Uhr, 25.11.2023

Kann es sein, dass du meine Antwort übersehen hast? Ich frage mich nur noch wie du auf

5,3

und 5 gekommen bist? Wie lautet der Rechenweg dazu?

HAL9000

20:21 Uhr, 25.11.2023

Ich geb's auf - Jvhannvs ist komplett unkooperativ, was meine Nachfragen betrifft. Ich überlasse es dir, Sukomaki, hier weiter zu kämpfen. :(

Jvhannvs aktiv_icon

20:24 Uhr, 25.11.2023

Ich versteh nicht was du möchtest? Ich hab doch auf deine Frage geantwortet

Sukomaki aktiv_icon

20:31 Uhr, 25.11.2023

Wie Dir bereits zweimal geschrieben wurde, entspricht

\frac{p}{q}

ℚ

gerade

p \cdot q^{- 1}

ℤ_{7}

.

Ich hege den Verdacht, dass Du die Berechnung des multiplikativen Inversen in der Vorlesung nicht mitbekommen hast. Oder zumindest mal einen Blick ins Skript geworfen hast.

Wie auch immer ist

3 \cdot 5 \equiv 1 m o d 7

und daher entspricht

\frac{1}{3}

eben der Fünf.

Jvhannvs aktiv_icon

21:22 Uhr, 25.11.2023

Danke habs jetzt gecheckt, meine Antworten waren möglicherweise leicht irreführend, sorry und danke nochmals für die Zeit

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