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Das Innere, der Rand und der Abschluss einer Menge

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Analysis, Mengentheoretische Topologie

anonymous

11:03 Uhr, 02.05.2020

Hallo,
ich habe eine Menge

A = {(x, \frac{1}{x}) \in R^{2} | \frac{1}{4} < x < 4} \in R^{2}

mit der Supremumsnorm.

Ich soll das Innere, den Abschluss und den Rand der Menge bestimmen. Soweit ich weiß, müsste die Menge offen und nicht abgeschlossen sein. Das heißt, dass das Innere=A ist. Wie komme ich aber auf den Rest?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:17 Uhr, 02.05.2020

Hallo,

wenn ich das richtig sehe, ist

A

der Graph der Funktion

f : (1 / 4, 4) \to ℝ, x \mapsto 1 / x

.
Findest du wirklich, dass dieser Graph eine offene Menge ist?

Gruß ermanus

anonymous

11:19 Uhr, 02.05.2020

Ich bin mir nicht sicher ob das wirklich eine Funktion darstellen soll, ich dachte es wäre einfach eine viereckige menge in

R^{2}

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11:22 Uhr, 02.05.2020

Die zweite Komponente eines Elementes aus

A

ist doch immer das
Inverse der ersten Komponente. So ist

A

definiert.

anonymous

11:24 Uhr, 02.05.2020

Dann hab ich das falsch verstande, somit müsste die Menge nicht offen sein

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11:27 Uhr, 02.05.2020

Ja, so sehe ich das auch; denn sie besteht nicht aus inneren Punkten.
Enthält sie denn überhaupt einen inneren Punkt?

anonymous

11:35 Uhr, 02.05.2020

Ich schätze mal anhand von dem was du gesagt hast nein, aber ich verstehe nicht warum

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11:39 Uhr, 02.05.2020

Wie sehen denn deine

ε

-Umgebungen (

B_{ε} (p)

) von Punkten aus?

anonymous

11:41 Uhr, 02.05.2020

Naja wenn die Menge nicht offen ist dann existiert kein

ε > 0

sodass

U ε (p) \in A

liegt oder?

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11:48 Uhr, 02.05.2020

So wird es wohl sein. Aber kannst du das auch
formal begründen? Du könntest das ja so machen,
dass du dir einen Punkt

p = (x_{0}, 1 / x_{0}) \in A

nimmst
und zeigst, dass zu beliebigem

ε > 0

ein Punkt

(x, y)

U_{ε} (p)

liegt, für den

y \neq 1 / x

ist.

Zum Glück benutzt ihr ja die Supremumsnorm ;-)

anonymous

12:03 Uhr, 02.05.2020

Hm ich bin mir nicht ganz sicher.
Sei

p = (x_{0}, \frac{1}{x_{0}}) \in A

U ε (p) = {(x, y) \in R^{2} |

supremum

((x_{0} - x), (\frac{1}{x_{0}} - y) < ε}

Hier bin ich mir nicht so sicher aber das

ε

müsste so gewählt werden, dass

(x_{0} - x) < ε

und

(\frac{1}{x_{0}} - y) < ε

Bildlich stelle ich mir das so vor, dass wenn wir den Graphen abgehen, wir immer noch in A sind, tun wir das aber nicht, so liegen wir nicht mehr in A.
Wählt man hier den Punkt

(4, \frac{1}{4})

so liegen wir noch in A wenn wir zu

(3.8 | \frac{1}{3} . 8)

gehen (sofern das in

ε

liegt), gehen wir aber zu

(3.9 | \frac{1}{3} . 8)

so liegen wir immer noch in

ε

aber nicht in A

anonymous

12:04 Uhr, 02.05.2020

4 liegt aber nach definition nicht in A aber das gleiche müsste gelten wenn wir anstatt 4 die 3 nehmen

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12:27 Uhr, 02.05.2020

Ah, ich denke, du bist auf dem richtigen Weg, formal ist es aber
noch nicht so perfekt ;-)
Vielleicht so:

Sei

p = (x_{0}, 1 / x_{0}) \in A

, also insbesondere

1 / 4 < x_{0} < 4

.
Sei

ε > 0

beliebig.
Dann ist

q := (x_{0} + ε / 2, 1 / x_{0}) \in U_{ε} (p)

.
Wegen

\frac{1}{x_{0}} \neq \frac{1}{x_{0} + ε / 2}

haben wir

q \notin A

.
Jede

ε

-Umgebung von

p

trifft also das Komplement von

A

.
Damit ist das Innere von

A

leer.

Wie sieht es mit dem Abschluss aus?

anonymous

12:42 Uhr, 02.05.2020

A müsste genau so nicht abgeschlossen sein. Wählen wir den Punkt

(4, \frac{1}{4})

in dem Komplement von

A,

so können wir kein

ε > 0

klein genug wählen sodass wir nicht in A liegen. Würde das bedeuten dass der Abschluss von A auch leer ist?

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12:44 Uhr, 02.05.2020

A

ist in der Tat nicht abgeschlossen.

A

sieht doch aus
wie ein verbogenes Intervall aber ohne Endpunkte.
Was ist der Abschluss eines offenen Intervalls?

anonymous

12:51 Uhr, 02.05.2020

Ja, es ist ein offenes Intervall aber ich weiß nicht ganz was du meinst. Kann man von einem offenen Intervall direkt den Abschluss ablesen?

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13:02 Uhr, 02.05.2020

Klar:

(a, b)

ist ein offenes Intervall und sein
Abschluss ist

[a, b]

.
Ich wollte anschaulich darauf hinaus, dass du vermuten mögest,
dass nur die beiden Endpunkt

(4, 1 / 4)

und

(1 / 4, 4)

zur Abgeschlossenheit fehlen.
Der Abschluss einer Menge ist die Menge der Berührpunkte dieser Menge,
also alle Punkte der Menge plus die Punkte, die am Rand fehlen.
Du selbst hast um 12:42 Uhr festgestellt, dass

(4, 1 / 4)

ein Berührpunkt
von

A

ist.

Wenn wir das zusammenfassen, bekommen wir so

\overline{A} = {(x, 1 / x) ∣ 1 / 4 \leq x \leq 4}

.

Übrigens ist immer

M^{o} \subseteq M \subseteq \overline{M}

, wobei

M^{o}

das Innere von

M

bezeichne.

anonymous

13:12 Uhr, 02.05.2020

OK danke, das hab ich verstanden.
Dann fehlt nur noch der Rand. Da das Innere leer ist, so müsste der Rand=der Abschluss sein oder?

ermanus aktiv_icon

13:13 Uhr, 02.05.2020

Genauso ist es :-)

anonymous

13:15 Uhr, 02.05.2020

Super, vielen Dank!

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