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Das Riesenrad als Sinuskurve

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktion h(t)

zickzack aktiv_icon

16:37 Uhr, 10.05.2011

Könnt ihr mir vielleicht folgende Aufgabe lösen, damit ich einen Überblick habe, wie man an solche Aufgaben rangeht.

Ein Riesenrad dreht sich einmal in $20 sec$ . Sein Durchmesser beträgt $60 m$ . Die Einstiegsplattform, $d . h$ . der tiefste Punkt, liegt $3 m$ über dem Straßenniveau.

$a)$ Stellen Sie eine Funktion $h (t)$ auf, welche die Höhe $h$ einer bestimmten Gondel über dem Straßenniveau angibt $(h \in m, t \in s)$ . Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist die Gondel unten.

Zur Kontrolle: $h (t) = 33 - 30 \cdot cos (\frac{π}{10} \cdot t)$

$c)$ Der Kirchturm ist $45 m$ hoch. Wie lange befindet sich die Gondel während eines Umlaufs über Kirchenturmhöhe?

$d)$ Stellen Sie eine Funktion $v (t)$ auf, welche die momentane Steiggeschwindigkeit der Gondel erfasst. (hinweis: ableitung von $h)$

$e)$ we groß ist die steiggeschwindigkeit $115$ sekunden nach Fahrtbeginn? Geht es zu diesen Zeipunkt aufwärts oder abwärts?

$f)$ wie groß ist die maximale steiggeschwindigkeit?

$g)$ wie groß ist die mittlere steiggeschwidigkeit in den ersten 3 Fahrsekunden?

zur infos: DAS SOLL KEINE HAUSAUFGABE SEIN; SONDERN EINE SELBST HERAUSGEPICKTE AUFGABE UM MIR DAS THEMA NOCHEINMAL RICHTIG ZU VERINNERLICHEN.

Ich bitte euch um Hilfe, denn mir fällt diese Aufgabe sehr schwer und die weiteren in meinem Buch werden auch nicht viel leichter sein, wenn ich diese nicht verstehe.

Edddi aktiv_icon

07:15 Uhr, 11.05.2011

...poste lieber die Fragen einzeln ins Forum! Dies hier schreckt ab und nach einer Weile hin und her dauert das öffnen des Threads nur unnötig lange! Außerdem könnten dir dann schon welche bei den anderen Teilaufgaben weitergeholfen haben, wärend du noch an einer zu tun hast.

fangen wir also mal mit a an.

Winkelgeschw. des Riesenrads (Winkel pro Zeit/Periode):

$ω = \frac{2 \cdot π}{T}$

da $\frac{1}{T} = f$ kann man auch schreiben: $ω = 2 \cdot π \cdot f$

Winkel nach Zeit $t$ (Winkelgeschw. $\cdot$ Zeit):

$φ = ω \cdot t = \frac{2 \cdot π}{T} \cdot t$

da $\frac{1}{T} = f$ kann man auch schreiben: $φ = 2 \cdot π \cdot f \cdot t$

mit dem Winkel kannst du nun über die Winkelfunktionen am rechtw. Dreieck die y-Komponente $y$ im Kreis berechnen:

$\frac{y}{R} = cos (φ)$ und damit $y = R \cdot cos (φ)$

...uns interessiert die y-Komponente. Diese vom Radius $R$ des Kreises abgezogen ergibt die Höhe $h :$

$h = R - R \cdot cos (φ)$

Dazu noch die $3 m$ über dem Boden mit dazu:

$h = 3 + R - R \cdot cos (φ) = 3 + R - R \cdot cos (\frac{2 \cdot π}{T} \cdot t)$

mit $R = 30$ und $T = 20$ ergibt sich dann:

$h (t) = 33 - 30 \cdot cos (\frac{2 \cdot π}{20} \cdot t) = 33 - 30 \cdot cos (\frac{π}{10} \cdot t)$

;-)

Gerd30.1 aktiv_icon

09:08 Uhr, 11.05.2011

$a)$ Für eine Kreisbewegung gilt allgemein: $y (t) = R \cdot cos α; x (t) = R \cdot sin α$
Wir müssen $h (t)$ ausrechnen mit der Anfangsbedingung $h (0) = 3 :$
$h (t) = R + 3 - y (t) = 33 - 30 cos α$ und mit $α = \frac{360}{20}$ oder $α = \frac{2 π}{20}$ wird nun
$h (t) = 33 - 30 cos (\frac{π}{10} t)$
c)Wir müssen den Zeitpunkt $t_{1}$ berechnen, an dem $33 - 30 cos (\frac{π}{10} t) = 45$ ist. Daraus folgt $cos (\frac{π}{10} t) = 1,9823 \Rightarrow t_{1} \approx 6,3 s$ . Dann ist der nächste Zeitpunkt $t_{2} = 20 - 6,3 = 13,7 s$ . Also befindet sich die Gondel $13,7 - 6,3 = 7,4 s$ über $45 m$
d)Da $v (t) = h' (t)$ folgt $v (t) = 30 \cdot \frac{π}{10} sin (\frac{π}{10} t) = 3 π sin (\frac{π}{10} t)$
e)wir brauchen $v (115) = 3 π sin (115 \cdot \frac{π}{10}) = - 3 π \approx - 9,42 \frac{m}{s}$
f)dazu müssen wir $v' (t) = 0$ setzen: $v' (t) = 3 \frac{π^{2}}{10} cos (\frac{π}{10} t) = 0 \Rightarrow cos (\frac{π}{10} t) = 0 \Rightarrow$
$\frac{π}{10} t = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 5,$ also nach $5 s$ höchste Steiggeschwindigkeit
g)wir müssen berechnen: $\frac{h (3) - h (0)}{3} = \frac{- 30 cos (3 \frac{π}{10}) + 30}{3} \approx 4,12$

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