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Das iteratives Nährungsverfahren -die Regula falsi

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

mihaela19911 aktiv_icon

20:26 Uhr, 17.03.2019

Hallo Zusammen,

ich bitte euch um Hilfe. Leider weiß ich nicht wie ich die Lösung bekommen kann, bzw. wie ich ein iteratives Nährungsverfahren,

z . B

. die Regula falsi verwenden kann.

Die Aufgabe:

Die Komponistenwitwe Clara Huber verkauft zum

01.01.09

ihren historischen Flügel, auf dem schon der berühmte Robert Huber gespielt hat, an das Aachener Couven-Museum. Als Gegenleistung erwartet sie 2 Beträge zu je EUR

15.000

01.01.10

und

01.01.12

sowie eine ewige Rente in Höhe von EUR 3.600/Jahr – beginnend

01.01.14

.
Das Museum schätzt den Wert des Flügels zum

01.01.09

auf EUR

50.000

. Welchen Effektivzinssatz entsprechen nunmehr die eingangs angegebenen Gegenleistungen an Clara

H .

?

Die Lösung:

siehe das Bild anbei. Leider weiß ich nicht weiter.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

20:57 Uhr, 17.03.2019

Hallo,

wenn du unbedingt Regula falsi verwenden willst, dann setzt z.B.

a_{0} = 1

und

b_{0} = 1, 2

Dann wäre

c_{1} = 1 - \frac{1, 2 - 1}{f (1, 2) - f (1)} \cdot f (1)

Dabei ist

f (q)

deine Funktion bei der Gleichung

f (q) = 0

.

Mit Excel kann man das sehr gut machen.

Der entsprechende Link ist

de.wikipedia.org/wiki/Regula_falsi#Das_Verfahren_(Primitivform)

Gruß

pivot

mihaela19911 aktiv_icon

21:12 Uhr, 17.03.2019

Hallo Pivot,

Vielen Dank! Gibt es auch der anderen Weg um die Lösung zu bekommen?

Liebe Grüße

pivot aktiv_icon

21:23 Uhr, 17.03.2019

Man nimmt ein anderes Näherungsverfahren. Ebenfalls relativ leicht anzuwenden ist das Newton-Verfahren. Im Gegensatz zu Regula falsi braucht nur einen Startwert. Du musst nur die Ableitung bilden können. Das ist aber nicht so schwer, da es sich größtenteils um ein Polynom handelt. Und die Ableitung von

(1 - q)^{- 1}

ist

(1 - q)^{- 2}

de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

mihaela19911 aktiv_icon

21:28 Uhr, 20.03.2019

Hallo Pivot,

Vielen lieben Dank!

LG Mihaela

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21:50 Uhr, 20.03.2019

Gerne. Ich hoffe es ist alles klar.

mihaela19911 aktiv_icon

08:51 Uhr, 21.03.2019

Ich hoffe auch :-)

Bin leider noch nicht dazu gekommen, dass ich die Aufgabe bis zum Ende rechne ;-)

LG Mihaela

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16:08 Uhr, 21.03.2019

Wenn du weitergekommen bist, dann kannst du dich gerne nochmal melden.

mihaela19911 aktiv_icon

11:34 Uhr, 24.03.2019

Hallo Pivot,

leider komme ich nicht weiter :/ .. Wir kann ich Startwert bestimmen. Ich kenne mich mit der Bezeichnungen nicht so gut aus und kann leider nicht aus dem Link was anfangen. Ich habe das Newton-Verfahren gewählt.

Anbei die Ableitung.

LG Mihaela

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18:12 Uhr, 24.03.2019

Hallo,

das sieht alles schon mal sehr gut aus. Eins vorweg: Ich habe nicht ganz aufgepasst bei der ewigen Rente. Zur Herleitung sollte man erstmal mittels geometrischer Reihe den Endwert zum Zeitpunkt n ausrechnen.

3600 \cdot \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = 3600 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Dann ist der Barwert, bei dir t=2014, gleich

3600 \cdot \frac{q^{n} - 1}{(q - 1) \cdot q^{n}}

q^{n}

kürzen.

3600 \cdot \frac{1 - q^{- n}}{q - 1} = 3600 \cdot \frac{1}{q - 1} - 3600 \cdot \frac{q^{- n}}{q - 1}

Jetzt n gegen Unendlich laufen lassen. Der erste Summand bleibt konstant und der zweite Summand geht gegen 0.

lim_{n \to \infty} (3600 \cdot \frac{1}{q - 1} - 3600 \cdot \frac{q^{- n}}{q - 1}) = 3600 \cdot \frac{1}{q - 1}

Die Ableitung ist dann

- \frac{1}{(q - 1)^{2}}

Also ist der letzte Summand bei deiner Ableitung

+ 3600 \cdot \frac{1}{(q - 1)^{2}} = + 3600 \cdot (q - 1)^{- 2}

___________

Nun zur Ermittlung des Startwertes. Es geht ja prinzipiell um Zinsen. Man kann erstmal davon ausgehen, dass im Normalfall der Zins zwischen 0 und 20 Prozent ist. Einfach mal als Richtwert. Nun kann man eine Art Vorprüfung durchführen. Man setzt in die Funktion einfach mal zwei, drei Werte ein und schaut ob der Funkionswert nahe 0 ist.

Also z.B.

q_{1} = 1, 02

;

q_{2} = 1, 04

q_{3} = 1, 11

Der Wert bei dem

f (q_{i})

näher an 0 dran ist verwendet man als Startwert. Man kann es dann noch weiter eingrezen-wenn man will. Dann beginnt man mit den Iterationen.

mihaela19911 aktiv_icon

02:09 Uhr, 25.03.2019

Hallo Pivot,

danke nochmal. Aber ich weiß noch immer nicht was ich falsch mache.. Ich habe probiert die Gleichung mit Excel zu lösen. Aber es geht irgendwie nicht. Und will nich aufgeben :(

Anbei die Excel Mappe und die zwei Gleichungen.

Die Lösung sollte 9,87% sein. :/

LG Mihaela

pivot aktiv_icon

03:32 Uhr, 25.03.2019

Hallo mihaela,

wie man im Bild (1) sehen kann habe ich bei den ersten beiden Zeilen die gleichen Zahlen. Dann scheint mit der Kopie der Formeln etwas schief gelaufen zu sein. Überprüfe noch mal die Formeln ab der 3. Zeile-insbesondere die Zellbezüge. Ich habe auch noch die ein Bild (2) angehängt bei dem nur die Formeln zu sehen sind.

Den einzigen Unterschied den ich bei meinen Formeln gemacht habe ist, dass ich den Kehrwert ohne negative Hochzahl geschrieben habe. Vielleicht liegt es daran, obwohl ich ja in den ersten beiden Zeilen die gleichen Werte habe. Insofern kann ich jetzt nicht genau sagen woran es hängt.

Edit:

Es sieht doch so aus, dass in der Spalte "x neu" die Formel nicht richtig ist.

Man sieht ja, dass bei deinem Startwert es praktisch sofort konvergiert. Aber so ein Startwert ist ja eigentlich nicht realistisch. Der Sinn des Näherungsverfahren ist ja eigentlich, dass man weiter entfernt anfängt, z.B. bei 1,05. Wie es bei mir dann aussieht habe ich auch angehängt (Bild 3).

Grüße zurück

pivot

mihaela19911 aktiv_icon

10:09 Uhr, 25.03.2019

Hallo Pivot!

Vielen Dank für deine tolle Unterstützung! Jetzt funktioniert!

LG Mihaela

pivot aktiv_icon

14:23 Uhr, 25.03.2019

Gerne. Freut mich, dass es jetzt funktioniert.

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