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De-Morgan'sche Regeln beweisen

Universität / Fachhochschule

Inklusion-Exklusion

Tags: DeMorgan, Inklusion-Exklusion

keep-smiling aktiv_icon

17:31 Uhr, 20.10.2013

Hallo! Ich muss beweisen, dass folgendes gilt:
(a)

{(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C} = ⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i}^{C}

(b)

{(⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C} = ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}^{C}

A_{i}

stellt dabei Ereignisse aus einem Ereignisfeld

ε

dar.

Wenn mir jemand bei einem davon helfen kann, denke ich, dass ich das andere alleine zusammenbringen würde, aber zur Zeit weiß ich nicht, wie ich das angehen soll.

Ich hätte an einen Beweis durch vollständige Induktion gedacht mit einem Induktionsanfang von zwei Mengen:

A \cup B = A \cup (A^{C} \cap B)

Daraus folgt:

B = (A \cap B) \cup (A^{C} \cap B)

Leider weiß ich nicht, wie es weitergehen soll, und ob das überhaupt stimmt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:46 Uhr, 20.10.2013

Hallo,

Induktion und dergleichen sind in diesem Falle nicht nötig.

Allgemein beweist man eine Mengengleichheit

X = Y

, indem man die beiden Inklusionen

X \subseteq Y

und

Y \subseteq X

beweist.

Eine Mengeninklusion

X \subseteq Y

beweist man, indem man die Gültigkeit von

x \in X \Rightarrow x \in Y

nachweist.

Nichts aufregendes, nur Handwerkszeug.

Mfg Michael

keep-smiling aktiv_icon

22:18 Uhr, 20.10.2013

Danke für die Antwort, ich konnte aber leider nicht viel damit anfangen..

Das bedeutet, dass ich zeigen muss, dass folgendes gilt:

{(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C} \subseteq ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}^{C}

und

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}^{C} \subseteq {(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C}

und das beweise ich, indem ich zeige, dass jedes beliebige

x \in {(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C}

auch

\in ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}^{C}

sein muss?
Aber wie stelle ich das an? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das Beispiel jetzt komplizierter geworden ist, als zuvor.

michaL aktiv_icon

08:35 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

> Das bedeutet, dass ich zeigen muss, dass folgendes gilt: [...]

Nein.
Du musst zeigen:

{(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C} \subseteq ⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i}^{C} \subseteq {(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C}

Dabei ist jede Inklusion einzeln abzuarbeiten!

Vermutlich meintest du das, aber geschrieben hast du es nicht.

> Leider weiß ich nicht, wie es weitergehen soll [...]

Nun, ich hatte es ja schon oben beschrieben, dass man Inklusionen

A \subseteq B

folgendermaßen beweist: Zeige, dass für ein beliebiges

x \in A

gilt:

x \in B

Fange also demgemäß folgendermaßen an:
Sei

x \in {(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})}^{C}

, d.h. es gilt ...

Und diese Ellipse ("...") musst du logisch füllen!

Mfg Michael

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