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DeMorgan: alle AND durch OR ersetzen und umgekehrt

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Tags: Boolesche Algebra, DeMorgansche-Gesetze, DeMorgansche-Regeln, Digitaltechnik, logik, morgan

KevinMitnick95 aktiv_icon

23:08 Uhr, 12.07.2017

Hallo.
Ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ersetzen Sie in den folgenden logischen Ausdrücken alle AND-Operationen durch OR-Operationen und umgekehrt, indem Sie die De Morgan’schen Regeln anwenden.

a) F =

+ (\bar{C} + A) \bar{D}

b) F = A (\bar{B} + C) + D

c) F = (A + B + C) (A + \bar{B} + C) (\bar{A} + B + \bar{C})

Also die DeMorganschen Regeln sind ja diese zwei:

(\bar{A + B}) = \bar{A} \cdot \bar{B}

(\bar{A \cdot B}) = \bar{A} + \bar{B}

woraus sich auch folgendes ableiten lässt:

A \cdot B = \bar{\bar{A} + \bar{B}}

Habe heute schon ein paar mal versucht die

a)

damit zu lösen aber ich kriegs einfach nicht hin.

Es wäre echt sau nett wenn jemand eine davon vorrechnen könnte oder zumindest den Ansatz machen könnte, damit ich sehe wie man die Regeln speziell in dieser Aufgabenstellung anwendet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

korbinian aktiv_icon

09:23 Uhr, 13.07.2017

Hallo,
ich würde die Aussage 2 mal verneinen (und damit nicht ändern); eine Verneinung "stehen lassen" und die zweite mit DeMorgan umwandeln usw.
gruß
korbinian

Roman-22

10:51 Uhr, 13.07.2017

a)

Nimm dir jeden der vier Operatoren einzeln vor.
Das erste UND hast du ja selbst schon ersetzt und bist daher bei

... = \bar{\bar{A} + \bar{B}} + (\bar{C} + A) \cdot \bar{D} = (⋆)

gelandet. Nimm dir nun den ODER Operator in der Klammer auf die gleiche Weise vor

(⋆) = \bar{\bar{A} \cdot \bar{B}} + \bar{C \cdot \bar{A}} \cdot \bar{D} = . .

.

Als nächsten den letzten UND Operator und danach noch das verbleibende ODER.

Du solltest auf

... = \bar{(\bar{A} + \bar{B}) \cdot (C \cdot \bar{A} + D)}

kommen.

KevinMitnick95 aktiv_icon

20:41 Uhr, 13.07.2017

Danke euch zwei für die hilfreichen Antworten!
Ich dachte die ganze Zeit es müsste "exakt" das selbe rauskommen, also die Konjugationen sozusagen gleich sind und nur die AND/OR vertauscht sind, aber so ergibt dass natürlich viel mehr Sinn. (Da es in meiner irrtümlichen Annahme ja nämlich gar nicht dasselbe wäre)

Hier wäre dann meine Rechnung zur

a)

F = A \cdot B + (\bar{C} + A) \cdot \bar{D}

= \bar{\bar{A} + \bar{B}} + (\bar{C} + A) \cdot \bar{D}

= \bar{\bar{A} + \bar{B}} + \bar{\bar{\bar{C}} \cdot \bar{A}} \cdot \bar{D}

= \bar{\bar{A} + \bar{B}} + \bar{C \cdot \bar{A}} \cdot \bar{D}

= \bar{\bar{A} + \bar{B}} + \bar{C \cdot \bar{A} + D}

= \bar{(\bar{A} + \bar{B}) + (C \cdot \bar{A} + D)}

korrekt oder?

Noch eine Frage hätte ich, sind die folgenden beiden booleschen Funktionen die erwarteten Lösungen zu denen ich mich jetzt in der

b)

und

c)

vorarbeiten muss?

b) F = A \cdot (\bar{B} + C) + D = . .

= \bar{(\bar{A} + B) \cdot (\bar{C} + \bar{D})}

c) F = (A + B + C) \cdot (A + \bar{B} + C) \cdot (\bar{A} + B + \bar{C}) = . .

= \bar{(\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}) + (\bar{A} \cdot B \cdot \bar{C}) + (A \cdot \bar{B} \cdot C)}

Roman-22

20:59 Uhr, 13.07.2017

c)

ist richtig, aber

b)

ist falsch. Das siehst du allein schon daran, dass in der Angabe ein UND und zwei ODER vorkommen, also musst du am Ende ein ODER und zwei UND haben.

KevinMitnick95 aktiv_icon

22:40 Uhr, 13.07.2017

Stimmt da hab ich wohl mal wieder geschlampt :-)

Ich denke ich habe jetzt die Ergebnisse:

b)

F = A \cdot (\bar{B} + C) + D

= A \cdot \bar{(\bar{\bar{B} + C}) \cdot \bar{D}}

= A \cdot \bar{\bar{\bar{\bar{\bar{B}} \cdot \bar{C}}} \cdot \bar{D}}

= A \cdot \bar{B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D}}

= \bar{\bar{A} + \bar{\bar{B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D}}}}

= \bar{\bar{A} + B \cdot \bar{C} \cdot \bar{D}}

c)

F = (A + B + C) \cdot (A + \bar{B} + C) \cdot (\bar{A} + B + \bar{C})

= (\bar{\bar{A} \cdot \bar{B}} + C) \cdot (\bar{\bar{A} \cdot \bar{\bar{B}}} + C) \cdot (\bar{\bar{\bar{A}} \cdot \bar{B}} + \bar{C})

= (\bar{\bar{\bar{\bar{A} \cdot \bar{B}}} \cdot \bar{C}}) \cdot (\bar{\bar{\bar{\bar{A} \cdot B}} \cdot \bar{C}}) \cdot (\bar{\bar{\bar{A \cdot \bar{B}}} \cdot \bar{\bar{C}}})

= (\bar{\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}}) \cdot (\bar{\bar{A} \cdot B \cdot \bar{C}}) \cdot (\bar{A \cdot \bar{B} \cdot C})

= \bar{(\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}) + (\bar{A} \cdot B \cdot \bar{C})} \cdot (\bar{A \cdot \bar{B} \cdot C})

= \bar{(\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}) + (\bar{A} \cdot B \cdot \bar{C}) + (A \cdot \bar{B} \cdot C)}

boah war das jetzt anstrengend in Latex einzutippen :-)

In der Hoffnung dass die Lösung nun korrekt ist, bedanke ich mich schon mal ganz herlich bei dir!

Roman-22

23:55 Uhr, 13.07.2017

Bei

b)

fehlt eine Klammer!

\to \bar{(\bar{A} + B \cdot \bar{C}) \cdot \bar{D}}

>

boah war das jetzt anstrengend in Latex einzutippen :-)
Ja, ist lästig. Aber du kannst hier auch im Textmodus Formel automatisch setzen lassen. Hilfe-PDF dazu gibts bei Klick links oben auf "Wie schreibt man Formeln?".

Meine Antwort sieht im Textmodus fabriziert so aus:

Bild1

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