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Dedekindsche Schnitte

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Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

 
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tshwane

tshwane aktiv_icon

12:05 Uhr, 17.04.2010

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Hallo,

ich beschäftitge mich gerade mit Zahlentheorie und wie man vom Zahlenbereich Q nach R kommen kann. Da gibt es zum einen die Intervallschachtelung, dann R als Menge von Klassen äquivalenter rationaler Cauchy Folgen und eben drittens die Dedekindschen Schnitte

ich habe schon viel im Netz und Büchern darüber gelesen, verstehe es aber einfach nicht; kann mir das vll jemand mal mit ganz einfachen Worten erklären?
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hagman

hagman aktiv_icon

17:05 Uhr, 17.04.2010

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Allen Methoden ist ja gemeinsam: Man hat eine Vorstellung davon, dass beispielsweise 2 eine dieser komischen neuen Zahlen sein soll. Diese Vorstellung möchte man formalisieren, wobei man als Ausgangsmaterial nur die rationalen Zahlen verwenden darf.
Wie kann man das, was eine reelle Zahl sein soll, mittels rationaler Zahlen beschreiben?

Erstens offenbar, indem man eine Intervallschachtelung mit rationalen Endpunkten angibt. Im Prinzip ist eine solche ja eine Folge von Intervallen [an,bn] mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass stets [an+1,bn+1]⊂[an,bn] gilt.
Zudem verlangt man noch, dass bn-an eine Nullfolge ist (also zu jeder rationalen Zahl ε>0 ein N∈ℕ existiert mit bn-an<ε für alle n>N)
Dann sagt man, dass es genau eine reelle Zahl x gibt mit x∈⋂n∈ℕ[an,bn]
Dummerweise muss man sich im Anschluss noch klarmachen, dass verschiedene Intervallschachtelungen durchaus dieselbe reelle Zahl bestimmen können.

Ähnlich ist das bei den Cauchy-Folgen, deshalb muss man ja auch dort (wie du auch richtig schreibst) Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen betrachten und nicht einfach alle Cauchy-Folgen.

Im Vergleich ist die Definition über Dedekindschnitte eigentlich viel einfacher, denn dort braucht man keine Äquivalenzklassen zu bilden:
Da man einen geeordneten Körper haben möchte, ist klar, dass am Ende, wenn man eine beliebige reelle Zahl hat, diese mit jeder anderen reellen Zahl verglichen werden kann, erst recht natürlich mit jeder rationalen Zahl.
Zu gegebenem x∈ℝ zerfällt ℚ also in zwei Mengen
Ax:={q∈ℚ | q≤x} und Bx:={q∈ℚ | q>x}
(Es kommt auf den genauen Autor an, ob Ax oder Bx oder das Paar (Ax,Bx) als Dedekindschnitt bezeichnet wird; ich beschränke mich hier einmal auf Ax. Ähnlich ist es Geschmackssache, ob x (falls x∈ℚ) zu Ax oder zu Bx gezählt wird).
Ein Dedekindschnitt Ax ist also eine Teilmenge von ℚ und zwei verchiedene Schnitte entsprechen auch stets verschiedenen reellen Zahlen (also anders als bei Intervallen oder Cauchy-Folgen).
Dafür entspricht nicht jede beliebiege Teilmenge von ℚ einem Schnitt.
Man kann die Teilmengen A⊆ℚ, die Schnitte sind, jedoch recht einfach charakterisieren:
1. A≠∅
2. A≠ℚ
3. Seien a,b∈ℚ mit a<b. Dann gilt b∈A⇒a∈A

Irgendwie ist "Die Menge aller Teilmengen von ℚ, die obige drei Eigenschaften erfüllen" letztlich doch eine einfachere Beschreibung als "Die Menge aller Äquvalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen, die die Cauchy-Bedingung erfüllen, modulo Folgen, die für hinreichend großen Folgenindex jede beliebige positive Schranke unterschreiten"


Sei ℝ die Menge aller Dedekindschnitte.
Dann haben wir eine Abbildung ι:ℚ→ℝ gegeben durch
ι(a)={q∈ℚ | q≤a}
Für A,B∈ℝ gilt entweder A=B oder A⊂B oder A⊃B (zeigen!), so dass ℝ durch ⊂ zu einer geordneten Menge wird. Es gilt a<b⇒ι(a)⊂ι(b).
Deshalb ist ι insbesondere injektiv und erlaubt es uns insofern, ℚ als Teilmenge von ℝ aufzufassen.
Die Addition auf ℝ ist leicht definiert:
A+B:={a+b | a∈A,b∈B}
Man prüft leicht, dass dies auch ein Dedekindschnitt ist, wenn A und B welche sind.
Ebenso prüft man leicht, dass dieses + eine Assoziative Verknüpfung auf ℝ ist mit ι(0) als neutralem Element; ferner ist -A:={q∈ℚ |-q∉A} leicht als ein Dedekindschnitt mit A+(-A)=ι(0) zu erkennen.
Somit ist ℝ schon einmal eine additive abelsche Gruppe.
Freundlicherweise gilt zudem ι(a+b)=ι(a)+ι(b).

Bei der Multiplikation geht man ähnlich vor, allerdings lauern kleiner Vorzeichen-Fallen.
Nach weiteren Überlegungen dieses Kalibers sieht man am Ende, dass ℝ ein vollständiger geordneter Körper ist.
Das ist dasselbe Resultat, das man mit den anderen Konstruktionen erhält.

Jetzt kann man die Gleichwertigkeit der drei Konstruktionen entweder dadurch sehen, dass man zeigt, dass je zwei vollständige geordnete Körper stets zueinander isomorph sind.
Oder man zeigt die Gleichwertigkeit direkt, indem man zu einem Dedekind eine pasende Cauchy-Folge und umgekehrt angibt.