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Dedekindscher Schnitt
Universität / Fachhochschule
Tags: Verständnisfrage
 
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Hallo, ich habe mal eine Verständnisfrage zu dem folgenden Beispiel: Die zahl entspricht dem Schnitt oder könnte mir mal jemand erklären, was das bedeuted? Ich verstehe grade nur Bahnhof ;-) Danke Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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<Sorry, war Blödsinn> |
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Also wenn ich es richtig verstanden habe, isr der ded.Schnitt so etwas, wie eine Annäherung an eine Zahl durch rationale Zahlen, von beiden Seiten aus. Das heißt man hat auf beiden Seiten der Zahl Mengen, mit unbeschränktem Intervall in Richtung der Zahl oder? |
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Hallo der DS ist nicht eigentlich ein Iteratinsverfahren sonder eine Einteilung. hier wurde die negative Wurzel definiert. vielleicht ist es einfacher die positive zu definieren du könntest natürlich auch 0der schreiben, nur das muss bleiben. auf dem Schnitt der beiden Mengen liegt jetzt klarer? Gruß ledum |
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@ledum danke, aber ganz klar ist es noch nicht 1.Wieso ist die zweite Menge ? 2.Muss man dann die Schnittmenge aus und bilden? Danke LG |
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Hallo du willst doch etwas indem liegt und solange liegt muss sein und ja, du musst den Schnitt bilden. Gruß ledum |
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@ledum, wie finde ich denn die letzte Zahl heraus für die gilt, ??? LG |
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Hallo Die findest du nicht, aber du nennst sie und weisst dass sie nicht in liegt und beliebig nahe an kannst du ja.Manche reelle Zahlen haben "Namen" wie die Wurzeln oder oder oder du kennst ihre Eigenschaft, aber nicht exakt die Zahl. Gruß ledum |
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@ledum, Ich verstehe immer noch nicht den Sinn des dedekindschen Schnitts. Worum geht es dabei? Aus der Beschreibung in Wiki werde ich nicht schlau. Könntest du mir erklären, worum es dabei geht? LG |
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Hallo Spammer, Dedekind führte seine Schnitte ein, um die "Vollständigkeit" - das ist so etwas wie Lückenlosigkeit - der reellen Zahlen zu formulieren: jeder Punkt in teilt die rationalen Zahlen, also die Zahlen aus , in zwei Mengen: in die Menge der rationalen Zahlen links von und die Menge der rationalen Zahlen rechts von , wobei im Falle, dass selbst auch rational ist, man z.B. annehmen kann. So bekommt man für die rationale Zahl 2 den Dedekindschen Schnitt mit und . Jedes Element von ist kleiner als jedes Element aus () und es gilt . Es gibt eine eindeutig bestimmte "Schnittzahl" , für die gilt: . Wir betrachten nun einen anderen Dedekindschen Schnitt: . Wieder gilt . Was aber in fehlt, ist die Schnittzahl . Wenn nun aber jeder Dedekindsche Schnitt eine Schnittzahl haben soll, so müssen wir um die fehlenden Schnittzahlen erweitern. Diese Erweiterung nennen wir , die Menge der reellen Zahlen. Wir fügen zu den rationalen Zahlen alle Dedekindschen Schnitte hinzu, geben ihnen "neue Namen", in obigem Falle z.B. und erklären dann, wie man Dedkindsche Schnitte und rationale Zahlen unter einander und mit einander addiert und multipliziert. So entsteht die Menge der reellen Zahlen. Durch diese seltsame abstrakte Konstruktion hat man erreicht, dass jeder Dedekindsche Schnitt in eine Schnittzahl besitzt - nämlich den Schnitt selbst. Eine Konsequenz davon ist, dass jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen ein Supremum besitzt. Eine andere Konsequenz ist, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man sagt daher, sei "vollständig". Gruß ermanus |
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