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Def Bereich. Gleichungen lösen.

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Definitionsbereich, Partielle Differentialgleichungen, Winkelfunktion

 
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MahoneIng

MahoneIng aktiv_icon

21:12 Uhr, 24.01.2023

Antworten
Hey Liebes Mathe Forum, ich bräuchte etwas Hilfe bei den Aufgaben. Ich habe denk ich soweit die Aufgabe a gelöst und bin mir nicht sicher ob es richtig und wie ich bei b, mit der Funktion weiter mache.
Vielen Dank im voraus

Webaufnahme_24-1-2023_21735_

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Respon

Respon

01:03 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Betrachten wir vorerst die Gleichung
cos(u)=22
u=π4+2πn   bzw. u=-π4+2πn  "vorerst" mit n
In deiner Aufgabe ist das Argument von cos aber x-1 und daher nichtnegativ. Der Bereich wird daher eingeschränkt.
x-1=π4+2πn  für n0
x-1=(π4+2πn)2
x=1+(π4+2πn)2
bzw.
x-1=-π4+2πn für n1
x-1=(-π4+2πn)2
x=1+(-π4+2πn)2

( Überprüfe bezüglich des Definitionsbereiches von f. )

c)
Kettenregel
f'(x)=-sin(x-1)12x-1
Welche Einschränkung ergibt sich dadurch?
Ist die 1. Ableitung stetig ergänzbar?

d)
Die Funktion ist vorerst für x>1 streng monoton fallend ( siehe Vorzeichen der 1. Ableitung ),
Bestimme das nächstliegende Minimum durch Nullsetzen der 1. Ableitung,
-sin(x-1)12x-1=0sin(x-1)=0
x-1=0x=1  Warum ist dieser Wert für die Aufgabe nicht brauchbar ?
x-1=πx=1+π2
a=1+π2

e)
Umkehrfunktion formal bilden.
y=cosx-1
x-1=acos(y)
x-1=acos2(y)
x=1+acos2(y)

y=1+acos2(x)
Beachte: Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der Ausgangsfunktion.

( Tippfehler suchen, finden, ausbessern !)



Umkehr
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:41 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Bei 2) liegt ja ein Grenzwert vom L'Hospital-Typ 0/0 vor. Ich würde aber der schrecklichen Terme wegen nicht sofort L'Hospital anwerfen, sondern stattdessen vorher sinnvoll zerlegen:

ln((x+1)4-15)sin(x4-1)=ln((x+1)4-15)(x+1)4-16(x+1)4-16x4-1x4-1sin(x4-1)

Alle drei Teilfaktoren konvergieren, was man im einzelnen z.B. per Variablen-Substitution):

EDIT: Obwohl, so schlimm ist L'Hospital hier auch nicht. Na egal, es bleibt der Hinweis, dass manchmal eine Produktzerlegung wie oben sinnvoll ist.
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