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Definitheit und quatratische Formen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Definitheit, Definitheit einer Matrix, Determinanten, Invertierbarkeit, Matrizenrechnung

Tu-DarmstadtStud aktiv_icon

15:13 Uhr, 31.05.2012

Guten Tag :-)

Ich habe hier folgende vier Matrizen gegegben :

A_{1}

(\begin{array}{rcl} 3 & - 3 \\ - 3 & 4 \end{array})

;

A_{2}

(\begin{array}{rcl} - 1 & 3 \\ 3 & - 10 \end{array})

;

A_{3}

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10 \end{array})

;

A_{4}

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14 \end{array})

.

So, dafür soll ich jetzt zeigen welche dieser quadratischen Formen positiv und welche negativ definit sind.

Meine Lösungen dazu sind für

A_{1}

ist postiv definit,

A_{2}

ist negativ definit,

A_{3}

ist positiv semidefinit und

A_{4}

ist wieder positiv definit.

(Wollte hierzu erstmal fragen ob das so stimmt, wenn nicht, wäre ich über eine Korrektur erfreut und dankbar:-) )

Soweit sogut.....

Nun soll ich beantworten ob es NICHT invertierbare positiv oder negativ definite Matrizen gibt und diese Aussage beweisen.

Mein Lösungsansatz war jetzt zu sagen.. : Eine Matrix ist nur dann invertierbar, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist. Wenn eine quadratische Form positiv oder negativ definit ist, heißt das, dass die Determinante oder Hauptmatrix und von

H_{2}

(\begin{array}{rcl} a 11 & a 12 \\ a 21 & a 22 \end{array})

ungleich Null sein müssen.
In der vorigen Aufgabe ist Matrix

A_{3}

positiv semidefinit, aber wäre nicht invertierbar, da beide Determinanten gleich Null sind.

(Stimmt meine Aussage so zu dieser Aufgabe? wenn nicht würde ich mich auch hier über Korrekturen freuen :-) ) .

Mfg Andre

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Tu-DarmstadtStud aktiv_icon

16:40 Uhr, 31.05.2012

Bitte um Hilfe ob das so richtig ist :( bitte bitte

hagman aktiv_icon

20:36 Uhr, 31.05.2012

Ist

A

nicht invertierbar, so gibt es ein

v \neq 0

mit

A v = 0

und erst recht

v^{T} A v = 0

Tu-DarmstadtStud aktiv_icon

21:38 Uhr, 31.05.2012

Also stimmt es nun so wie ich es geschrieben habe oder was muss ich noch hinzufügen bzw entfernen?

hagman aktiv_icon

21:45 Uhr, 31.05.2012

Du argumentierst "Wenn eine quadratische Form positiv oder negativ definit ist, heißt das, dass die Determinante

. .

. ungleich Null sein müssen." Woher hast du diese Erkenntnis? Habt ihr so einen Satz gehabt?

Tu-DarmstadtStud aktiv_icon

21:49 Uhr, 31.05.2012

Bei uns im skript steht sowas mit.... Eine symmetrische n x n Matrix ist genau dann positiv definit, wenn die Determinanten der n " Hauptmatzizen" Hi positiv sind:

H1=a11, H2=

(\begin{array}{rcl} a 11 & a 12 \\ a 21 & a 22 \end{array})

H_{k}

(\begin{array}{rcl} a 11 & . . . & a 1 k \\ . . . & . . . & . . . \\ a k 1 & . . . & a k k \end{array})

Tu-DarmstadtStud aktiv_icon

21:51 Uhr, 31.05.2012

bzw hier steht noch... Eine quadratische Form q(x) =

x^{T}

Ax heißt positiv definit(negativ definit), wenn q(x) > 0 (q(x)<0) für alle x ungleich 0 gilt.

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