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Definition Borelmenge, Hausdorff-dimension, Boxdim

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Analysis

 
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Stochastikerin

Stochastikerin

11:19 Uhr, 24.06.2024

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Wer könnte mir einmal folgendes definieren, da ich dazu leider keine "einfach" gehaltenen Definitionen finde

- Borelmenge
- Hausdorff-Dimension
- Boxdimension

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
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HAL9000

HAL9000

15:29 Uhr, 24.06.2024

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Tja, was ist einfach? Mit Maßtheorie-Grundkenntnisse kann man "Borelmenge" so definieren:

Ist Ω ein topologischer Raum, dann ist die Borel-Sigmaalgebra die kleinste Sigma-Algebra über Ω, die alle offenen Mengen dieses Raums enthält. Eine Teilmenge von Ω ist eine Borelmenge, wenn sie in dieser Sigma-Algebra liegt.

Im Falle von Ω=ℝ (oder allgemeiner ℝn) gibt es zahlreiche alternative (und deutlich kleinere) Erzeuger-Mengensysteme statt der offenen Mengen. So reicht beispielsweise bereits das System aller Intervalle (-∞,x] als Erzeuger aus - noch krasser sogar, es reichen auch bereits die mit rationalen x.
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