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Definition Folgen
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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Mein Problem: Im Unterricht haben wir folgenden Satz durchgenommen: Wenn f eine Nullfolge ist, dann ist f beschränkt. Ferner haben wir "Folge" als eine Abbildung mit einer abzählbar unendlichen Defintionsmenge definiert. Meinem mathematischen Gefühl nach gilt dann aber (nach dieser Definition) der Satz nur, wenn zur Abzählbarkeit der Defintionsmenge noch zwei weitere Kriterien dazukommen: 1.) Es gibt ein kleinstes Element in der Defitionsmenge. 2.) Zwischen zwei Elementen der Definitionsmenge dürfen nur endlich viele Elemente liegen. Dann wäre der obige Satz eine Allaussage. Die Frage ist nur: Wie ist eine Folge genau defniert? |
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Hallo, >Die Frage ist nur: Wie ist eine Folge genau definiert? www.mathematik.uni-trier.de~mueller/pdfANAI.pdf Kapitel 5 "etwas" grober: de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Zu deinem Problem mit der Nullfolge: Schau dir die Definiton 5.1 2. an (erster Link), das ist die Definition des Grenzwertes. Eine Folge heißt dann Nullfolge, wenn der Grenzwert der Folge 0 ist (damit ist auch die Konvergenz der Folge vorausgesetzt). Weil konvergente Folgen notwendig beschränkt sind (-> Satz 5.4), ist auch jede Nullfolge beschränkt. Eure Definition bereitet auch mir etwas Probleme, weil dann ja auch eine Abbildung: f: Q -> IR eine Folge wäre (Q={rationale Zahlen} ist ja abzählbar und unendlich). Das sehe ich (zumindest momentan) nicht so ganz ein. Wie sollte dann ein Grenzwert definiert sein? Q ist geordnet, vielleicht könnte man es dann sogar noch retten (ich denke vielleicht in der Art (im Falle Definitionsbereich=Q): Eine reelle Zahl g heißt Grenzwert der Folge f, wenn gilt: Für alle Epsilon > 0 existiert ein p=p(Epsilon) aus Q, so dass für alle q aus Q mit q > p gilt: |f(q) - g| < Epsilon. Vielleicht hat ja mal jemand Lust, diesen "Versuch der Definition des Grenzwertes" einer solchen Folge (Folge im Sinne der von Clemens angegebenen Definition) genauer zu analysieren. Ich unterlasse dies jetzt einfach!). Aber wenn man nun eine ungeordnete, abzählbar unendliche Menge als Definitionsbereich zuläßt (das habt ihr ja nicht ausgeschlossen!), so sehe zumindest ich gar nicht mehr, wie man dann einen Grenzwert definieren will. Denn in der (allgemeinen) Definition des Grenzwertes (einer Folge) steht immer irgendwo das Zeichen: " > ", und zwar auch bezogen auf den Definitionsbereich! Demnach scheint es also wesentlich, dass der Definitionsbereich eine Ordnungsstruktur hat! Irgendwie scheint es mir, als sei diese Definition (also die, die Clemens aufgeschrieben hat) nicht besonders sinnvoll (bzw. nicht vollständig). Ehrlich gesagt, ich kenne sie auch nicht so. Vielleicht übersehe ich da aber auch etwas. Es ist aber auch so: Egal, wo ich auch bisher gesucht habe, nirgendwo steht etwas davon, dass es genügt, eine Folge als "...Abbildung mit einer abzählbar unendlichen Defintionsmenge..." zu definieren. Bisher habe ich immer nur gefunden, dass man IN oder Z={ganze Zahlen} zugrunde legt (bzw. Teilmengen von IN bzw. Z mit unendlich vielen Elementen). Vielleicht kennt aber sonst jemand eure Definition (die Definition, die Clemens aufgeschrieben hat) und kann auch mir sagen, ob diese sinnvoll (und vor allem vollständig) ist bzw. wieso die sinnvoll ist? Denn ich würde, wie bereits erwähnt, eher sagen, dass diese Definition unvollständig ist (und damit nicht besonders sinnvoll)! Viele Grüße Marcel |
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Ich kann deinen Link leider nicht einsehen und muss mich ferner dafür entschuldigen, dass ich die Definition nicht vollständig geschrieben habe. Aufgrund der Definition von Konvergenz ist es für mich selbstverständlich gewesen, dass die Definitionsmenge geordnet ist. Aber wie du schon sagtest, bist du auch schon auf Folgen mit der Definitionsmenge Z gestoßen, und das ist ja gerade das Problem. Denn solche Folgen können durchaus Nullfolgen und trotzdem unbeschränkt sein (weil es kein kleinstes Element in Z gibt). |
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Hallo Clemens, was kannst du nicht einsehen? Das Skript? www.mathematik.uni-trier.de~mueller/ => Analysis I bis IV (einfach runterladen). Wenn du es nicht geöffnet bekommst, dann benötigst du ein Programm zum Öffnen der Datei (Endung: *.pdf). Dazu kannst du dann z.B. entweder Acrobat Reader (die kostenlose Version) von Adobe downloaden oder ein Programm namens Ghostview. Falls du nicht fündig wirst (einfach mal mit z.B. Google suchen bzw. auf der Homepage von adobe gibts den Acrobat Reader), melde dich nochmal, dann gebe ich dir explizit einen Link dazu an. Der zweite Link (-> oben, Wikipedia) sollte allerdings funktionieren... Eine Folge mit z.B. Definitionsbereich Z, die unbeschränkt ist und dennoch eine Nullfolge ist, könnte man natürlich explizit angeben: (I) f: Z -> IR f(z):=z, falls z <=0 und f(z):=1/z, falls z > 0 wäre dann eine unbeschränkte Nullfolge (man braucht ja nur f eingeschränkt auf IN zu betrachten, und dann weiß man, dass das eine Nullfolge ist; oder man sollte wissen, wie man es beweisen kann ;-) ). Ich denke, dass man so etwas aber damit eigentlich nicht meint, sondern, dass dieser Definitionsbereich, also diese Teilmenge von Z (wie du schon sagtest) ein kleinstes Element besitzen muss, wenn man dann von Folgen spricht. [Leider wird das (mit dem kleinsten Element) auch in dem angegebenen Skript nicht explizit erwähnt und anscheinend ist es gar nicht so leicht, sich Informationen über diese Art von Folgen zu besorgen. Zumindest bin ich noch nicht fündig geworden...] Also wäre das, was ich in (I) als Folge bezeichnet habe, eigentlich gar keine Folge... Sonst wäre ja auch i. A. die Aussage: Konvergenz => Beschränktheit falsch, wie das Beispiel (I) zeigt. Also mit eurer Definition: Folge "...als eine Abbildung mit einer abzählbar unendlichen, geordneten Defintionsmenge..." denke ich auch in der Tat, dass deine zwei Forderungen zusätzlich notwendig sind, um die Aussage (mit dieser Definition: Nullfolge => Beschränktheit) zu beweisen! Viele Grüße Marcel |
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Vielen Dank, jetzt ist alles geklärt. Gruß Clemens |
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