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Definition d Differenzierbarkeit, Sandwich Theorem

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Definition, Differentiation, sandwichtheorem

Lara456 aktiv_icon

22:32 Uhr, 12.09.2019

Hallo Leute,

bei der Aufgabe soll mit der Definition der Differenzierbarkeit gezeigt werden, dass die Funktion differenzierbar ist mit den jeweiligen Ableitungen.

Im Skript habe ich zu der Definition der Ableitung gefunden ohne jetzt formelle Korrektheit

=)

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der
Fehler= f(x+ΔX)-f(x)-A*Δx
schneller als linear gegen Null geht

Bis zu dem Teil das Fehler= Δ

x \cdot

y

ist komme ich mit der Musterlösung mit. Aber alles andere was danach gemacht wird verstehe ich nicht

Nun hat man doch einen Fehler der für der für Δ

x

und Δ

y

gegen null gegen 0 geht. also ist doch

lim

Fehler/

| x | = 0

Wieso wird dann das Sandwich Theorem angewandt. Ich verstehe den Rest leider nicht mehr und sitze eine Ewigkeit dran um es nachzuvollziehen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Lara456 aktiv_icon

12:34 Uhr, 15.09.2019

Ich hätte vielleicht so eine Erklärung

Sandwichtheorem vielleicht deshalb

Wir haben einmal

0 = <

und ein mal den |ΔxΔy|

/ | | x | |

also |Fehler|/||x||

beides geht gegen Null weshelb

laut Sandwichtheorem dann auch

ΔxΔy/||x|| gegen null gehen müsste also der Fehler/||x|| ohne Betrag geht gegen 0

aber der Fehler ist doch ΔxΔy wieso kann man nicht direkt sagen das das gegen Null geht darf man 0 nicht durch die Norm teilen?

anonymous

22:17 Uhr, 15.09.2019

Hallo,

also, mal zum Abgleich,

du hast soweit alles verstanden, also, dass der Fehler

Δ x \cdot Δ y

ist

und auch, dass es daher

lim_{Δ \vec{x} \to 0} \frac{Δ x \cdot Δ y}{| | Δ \vec{x} | |} = 0

zu zeigen gilt ("

Δ x \cdot Δ y

klein gegen

| | Δ \vec{x} | |

für

\vec{x}

gegen 0 ") und

hast nun Probleme mit der Beweismethode der zwei Polizisten,

die den Verbrecher in der Mitte einquetschen, metaphorisch gesprochen,

richtig ?

Deine Vermutung ist aber ganz richtig,

wenn der Term links und der Term rechts den gleichen Limes haben

(und die Ungleichung korrekt ist), bleibt dem Term in der Mitte

keine Wahl, das ist das Prinzip dieser Methode, jawollja...

Ah, zum letzten Teil deiner Frage:

Nur zu zeigen, dass

lim_{Δ \vec{x} \to 0} Δ x \cdot Δ y = 0,

reicht nicht, dazu ein Beispiel:

Es gilt trivielarweise

lim_{t \to 0} t = 0

. Nach dem falschen Ansatz

wäre somit nun schon

t

klein gegen jeden denkbaren Term

α

für

t

gegen

0,

also

lim_{t \to 0} \frac{t}{α} = 0

.

Aber

z . B

lim_{t \to 0} \frac{t}{2 \cdot t} = \frac{1}{2},

also

t

nicht klein gegen

α = 2 \cdot t

für

t

gegen 0.

Lara456 aktiv_icon

13:39 Uhr, 16.09.2019

Hallo Greg,

'Beweismethode der zwei Polizisten,

die den Verbrecher in der Mitte einquetschen, metaphorisch gesprochen,

'

ich wusste gar nicht das Mathematik auch lustig sein kann

=)

Vielen dank dafür

Genau, dsa ist für mich nicht ganz verständlich

also die zwei Polizisten sind einmal 0 und einmal der Betrag

für mich ist klar das der Betrag von etwas größergleich Null sein muss,
aber wieso ist ΔxΔy (der Vebrecher) in der Mitte, kann er nicht kleiner Null sein?

und gilt das eine funktion immer kleiner gleich dem Betrag der funktion ist

Weiter..

"wäre somit nun schon

t

klein gegen jeden denkbaren Term α für

t

gegen

0,

also limt→0tα=0.

Aber

z . B

. limt→0t2⋅t=12,"

okay verständlich für das Beispiel aber bei meiner Gleichung steht doch oben und unten die gleichen Variablen also

Δx⋅Δy geteilt durch ||Δx→||

Die Variablen im Zähler sind doch die gleichen wie im Nenner also in der Norm, nämlich Δx⋅Δy

wenn die im Zähler gegen Null gehen wieso gegen die im Nenner nicht gegen Null

Ich hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken, schriftlich fällt mir das ein schwer

Liebe Grüße

anonymous

14:22 Uhr, 16.09.2019

Aaalso,

bei den Schnipseln oben steht schon alles, scheckheftgepflegt,

es bleibt mir daher nur übrig, ein wenig Erklärbär dazu zu geben...

Wir müssen zeigen, dass

lim_{\vec{x} \to 0} \frac{Δ x \cdot Δ y}{| | \vec{x} | |} = 0

.

Ja, richtig, wenn

\vec{x}

gegen 0 geht,

dann geht auch

Δ x \cdot Δ y

gegen 0

und dann geht auch

| | \vec{x} | |

gegen 0.

Aber, nein, das bedeutet noch nicht,

dass deshalb auch

\frac{Δ x \cdot Δ y}{| | \vec{x} | |}

gegen 0 geht.

Bei meinem Beispiel oben ist es ja

z . B

. auch nicht so -

obwohl dort der Zähler und der Nenner gegen 0 gehen, ist der Limes

\frac{1}{2}!

Nun wird bei deinen Bildern das termmechanische Wunderwerk

Bulle

1 \leq \frac{| Δ x \cdot Δ y |}{| | \vec{x} | |} \leq

Bulle 2

konstruiert, wobei Bulle 1 und Bulle 2 mit

\vec{x}

gegen 0 gehen

(Bulle 1 ist sogar konstant

0,

sehr einfach).

Beachte, dass in der Mitte nun aber der Zähler

| Δ x \cdot Δ y |

ein Betrag ist

und dass auch der Nenner

| | \vec{x} | | = \sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2}}

positiv ist.

Es ist aber OK,

lim_{\vec{x} \to 0} \frac{| Δ x \cdot Δ y |}{| | \vec{x} | |} = 0

zu zeigen, denn dann ist sowieso auch schon

lim_{\vec{x} \to 0} \frac{Δ x \cdot Δ y}{| | \vec{x} | |} = 0

anonymous

14:35 Uhr, 16.09.2019

Nur eine Sache bei den Schnipseln kann man vielleicht etwas stringenter gestalten,

nämlich die Herleitung der Sandwich-Ungleichung,

ich würde das so machen:

0 \leq {(Δ x \pm Δ y)}^{2} = {(Δ x)}^{2} \pm 2 \cdot Δ x \cdot Δ y + {(Δ y)}^{2}

\Rightarrow

\pm Δ x \cdot Δ y \leq \frac{1}{2} \cdot {(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2}

\Rightarrow

| Δ x \cdot Δ y | \leq \frac{1}{2} \cdot {(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2}

.

Und jetzt die teuflische Zahlenfalle damit aufstellen...

anonymous

21:13 Uhr, 16.09.2019

Beachte auch die Bedeutung von "

\vec{x}

gegen 0 ",

also dem

\vec{x} \to 0

bei "

lim_{\vec{x} \to 0}

tollerterm ",

welche man im Rahmen eines dynamischen Prozesses salopp so verbalisieren könnte:

Jede Norm (hier die 2-Norm) des Vektors

\vec{x}

und damit auch der Betrag eines jeden Elementes des Vektors

\vec{x}

wird (und "bleibt") beliebig klein,

doch, und das ist absolut wichtigst, der Vektor

\vec{x}

wird nie

0,

es gilt nie

\vec{x} = 0!

Lara456 aktiv_icon

11:34 Uhr, 17.09.2019

Vielen dank für deine Mühen Greg, das hilft mir enorm

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