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Definition d Differenzierbarkeit, Sandwich Theorem

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Definition, Differentiation, sandwichtheorem

 
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Lara456

Lara456 aktiv_icon

22:32 Uhr, 12.09.2019

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Hallo Leute,

bei der Aufgabe soll mit der Definition der Differenzierbarkeit gezeigt werden, dass die Funktion differenzierbar ist mit den jeweiligen Ableitungen.

Im Skript habe ich zu der Definition der Ableitung gefunden ohne jetzt formelle Korrektheit =)

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der
Fehler= f(x+ΔX)-f(x)-A*Δx
schneller als linear gegen Null geht

Bis zu dem Teil das Fehler= Δ x Δ y ist komme ich mit der Musterlösung mit. Aber alles andere was danach gemacht wird verstehe ich nicht

Nun hat man doch einen Fehler der für der für Δ x und Δ y gegen null gegen 0 geht. also ist doch
lim Fehler/ |x|=0

Wieso wird dann das Sandwich Theorem angewandt. Ich verstehe den Rest leider nicht mehr und sitze eine Ewigkeit dran um es nachzuvollziehen


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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Lara456

Lara456 aktiv_icon

12:34 Uhr, 15.09.2019

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Ich hätte vielleicht so eine Erklärung

Sandwichtheorem vielleicht deshalb

Wir haben einmal 0=<
und ein mal den |ΔxΔy| /||x|| also |Fehler|/||x||

beides geht gegen Null weshelb

laut Sandwichtheorem dann auch

ΔxΔy/||x|| gegen null gehen müsste also der Fehler/||x|| ohne Betrag geht gegen 0


aber der Fehler ist doch ΔxΔy wieso kann man nicht direkt sagen das das gegen Null geht darf man 0 nicht durch die Norm teilen?
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

22:17 Uhr, 15.09.2019

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Hallo,

also, mal zum Abgleich,

du hast soweit alles verstanden, also, dass der Fehler ΔxΔy ist

und auch, dass es daher limΔx0ΔxΔy||Δx||=0

zu zeigen gilt (" ΔxΔy klein gegen ||Δx|| für x gegen 0 ") und

hast nun Probleme mit der Beweismethode der zwei Polizisten,

die den Verbrecher in der Mitte einquetschen, metaphorisch gesprochen,

richtig ?

Deine Vermutung ist aber ganz richtig,

wenn der Term links und der Term rechts den gleichen Limes haben

(und die Ungleichung korrekt ist), bleibt dem Term in der Mitte

keine Wahl, das ist das Prinzip dieser Methode, jawollja...


Ah, zum letzten Teil deiner Frage:

Nur zu zeigen, dass limΔx0ΔxΔy=0,

reicht nicht, dazu ein Beispiel:

Es gilt trivielarweise limt0t=0. Nach dem falschen Ansatz

wäre somit nun schon t klein gegen jeden denkbaren Term α für t gegen 0, also limt0tα=0.

Aber z.B. limt0t2t=12,

also t nicht klein gegen α=2t für t gegen 0.

Lara456

Lara456 aktiv_icon

13:39 Uhr, 16.09.2019

Antworten
Hallo Greg,

'Beweismethode der zwei Polizisten,

die den Verbrecher in der Mitte einquetschen, metaphorisch gesprochen,'

ich wusste gar nicht das Mathematik auch lustig sein kann =)
Vielen dank dafür


Genau, dsa ist für mich nicht ganz verständlich

also die zwei Polizisten sind einmal 0 und einmal der Betrag

für mich ist klar das der Betrag von etwas größergleich Null sein muss,
aber wieso ist ΔxΔy (der Vebrecher) in der Mitte, kann er nicht kleiner Null sein?

und gilt das eine funktion immer kleiner gleich dem Betrag der funktion ist


Weiter..

"wäre somit nun schon t klein gegen jeden denkbaren Term α für t gegen 0, also limt→0tα=0.

Aber z.B. limt→0t2⋅t=12,"

okay verständlich für das Beispiel aber bei meiner Gleichung steht doch oben und unten die gleichen Variablen also


Δx⋅Δy geteilt durch ||Δx→||

Die Variablen im Zähler sind doch die gleichen wie im Nenner also in der Norm, nämlich Δx⋅Δy

wenn die im Zähler gegen Null gehen wieso gegen die im Nenner nicht gegen Null


Ich hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken, schriftlich fällt mir das ein schwer

Liebe Grüße
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

14:22 Uhr, 16.09.2019

Antworten
Aaalso,

bei den Schnipseln oben steht schon alles, scheckheftgepflegt,

es bleibt mir daher nur übrig, ein wenig Erklärbär dazu zu geben...

Wir müssen zeigen, dass limx0ΔxΔy||x||=0.

Ja, richtig, wenn x gegen 0 geht,

dann geht auch ΔxΔy gegen 0

und dann geht auch ||x|| gegen 0.

Aber, nein, das bedeutet noch nicht,

dass deshalb auch ΔxΔy||x|| gegen 0 geht.

Bei meinem Beispiel oben ist es ja z.B. auch nicht so -

obwohl dort der Zähler und der Nenner gegen 0 gehen, ist der Limes 12  !


Nun wird bei deinen Bildern das termmechanische Wunderwerk

Bulle 1|ΔxΔy|||x|| Bulle 2

konstruiert, wobei Bulle 1 und Bulle 2 mit x gegen 0 gehen

(Bulle 1 ist sogar konstant 0, sehr einfach).

Beachte, dass in der Mitte nun aber der Zähler |ΔxΔy| ein Betrag ist

und dass auch der Nenner ||x||=(Δx)2+(Δy)2 positiv ist.

Es ist aber OK, limx0|ΔxΔy|||x||=0 zu zeigen, denn dann ist sowieso auch schon limx0ΔxΔy||x||=0.

Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

14:35 Uhr, 16.09.2019

Antworten
Nur eine Sache bei den Schnipseln kann man vielleicht etwas stringenter gestalten,

nämlich die Herleitung der Sandwich-Ungleichung,

ich würde das so machen:

0(Δx±Δy)2=(Δx)2±2ΔxΔy+(Δy)2



±ΔxΔy12(Δx)2+(Δy)2



|ΔxΔy|12(Δx)2+(Δy)2.


Und jetzt die teuflische Zahlenfalle damit aufstellen...


Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

21:13 Uhr, 16.09.2019

Antworten
Beachte auch die Bedeutung von " x gegen 0 ",

also dem x0 bei " limx0 tollerterm ",

welche man im Rahmen eines dynamischen Prozesses salopp so verbalisieren könnte:

Jede Norm (hier die 2-Norm) des Vektors x

und damit auch der Betrag eines jeden Elementes des Vektors x wird (und "bleibt") beliebig klein,

doch, und das ist absolut wichtigst, der Vektor x wird nie 0, es gilt nie x=0  !

Frage beantwortet
Lara456

Lara456 aktiv_icon

11:34 Uhr, 17.09.2019

Antworten
Vielen dank für deine Mühen Greg, das hilft mir enorm