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Mehrdimensionale Ableitung
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation
 
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Hallo Leute, habe einige Fragen zur im Anhang befindlichen Definition der (totalen) Differenzierbarkeit: 1. Ist die Ableitung an der Stelle a gleich der Matrix der linearen Abbildung die lineare Abbildung selbst oder die lineare Abbildung (*=Matrixprodukt)? 2. Warum bedeutet Differenzierbarkeit an der Stelle dass in einer Umgebung von a approximiert wird? Die Gleichung . wird ja für alle von Omega gefordert, und nicht nur für Bestimmte. Bezieht man sich etwa auf die -Konvergenz? Danke schon mal für die Antworten! LG   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, die Ableitung bezeichnet eigentlich die linear Abbildung. Aber im alltäglichen Sprachgebrauch setzt man sie oft mit der Repräsentation durch die Matrix A bezüglich der kanonischen Basis ("Jacobimatrix") gleich. Die angegebene Gleichung gilt zwar auf aber nur in einer kleinen Umgebung wirkt sich die Bedingung an aus und macht diesen Restterm "klein", so dass nur in einer Umgebung von a davon gesprochen werden kann, dass Gruß pwm |
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Hallo, vielen Dank erstmal! Also ist es ja eigentlich egal, ob man nun die lineare Abbildung oder nach Auswahl einer Basis die Matrix nimmt, oder? Im Buch steht noch: Die "herkömmliche Ableitung" von einer eindimensionalen Funktion an einer Stelle a ist dann aber nicht sondern die Abbildung . Stimmt das? Und etwas später steht noch, dass nach dieser Definition der Differenzierbarkeit die linearen Funktionen die einzigen sind, die mit ihrer Ableitung übereinstimmen. Stimmt dies ebenfalls? (Siehe Anhang, Definition ist die Definition der Differenzierbarkeit vom ersten Post) Ich hoffe, du kannst mir noch diese 3 Fragen beantworten. LG  |
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Hallo, Deine Fragen sind ein wenig schwer zu beantworten, weil es um das Verhältnis von exakter Definition und Alltags-Sprechweisen geht. Ableitung ist bei Euch als lineare Abbildung definiert. In diesem Sinn ist die 3. Aussage auf jeden Fall richtig. Lineare Abbildungen lassen sich im endlich-dimensionalen Raum als Matrizen repräsentieren (nach BasisWahl). Weil das eine 1-1-Beziehung ist, wird oft die lineare Abbildung mit ihrer Matrix-Repräsentation identifiziert - richtig "egal" ist das nicht, und manchmal auch nicht zweckmäßig. Im eindimensionalen bevorzugt man traditionell die Definition der Ableitung als Zahl die die lineare Abbildung definiert. Das liegt . daran, dass diese Zahl eine direkte geometrische Bedeutung hat, nämlich die Steigung der Tangente. Gruß pwm |
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Hallo, also ist (zumindest nach meiner Definition) die Ableitung einer eindimensionalen Funktion an der Stelle a strenggenommen nicht sondern die Abbildung richtig? LG |
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Ja, so ist es. |
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Ist schon etwas "seltsam", wenn man, nachdem man so lange mit Ableitungen gearbeitet hat, diese plötzlich anders definiert werden. Danke für Deine Hilfe! |
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