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Definition einer Ellipse über zwei Tangenten?

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Sonstiges

Tags: Definition, Ellipse, Geometrie, Sonstig, Tangent

Friederik aktiv_icon

12:05 Uhr, 09.06.2016

Hallo community,

ich habe eine vermutlich relativ einfach zu beantwortende Frage, an der ich selbst - mit meinem relativ einfachen Mathematikwissen - nicht weiterkomme: Ist es möglich, eine Ellipse im zweidimensionalen Raum zu definieren, wenn ich die Koordinaten zweier Punkte dieser Ellipse sowie die dazugehörigen Tangenten dieser Punkte kenne?

Ich habe das Problem mal kurz aufgezeichnet. Die Punkte Alpha und Beta und die Tangenten sind bekannt, die Position des Mittelpunktes und die Längen a und

b

gesucht. Reichen die mir zur Verfügung stehenden Informationen zur Definition der Ellipse?

Ich würde mich freuen, wenn jemand die Zeit finden würde, mir bei meiner Frage weiterzuhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Respon

12:44 Uhr, 09.06.2016

Es handelt sich um eine Ellipse in 1. Hauptlage.
Gleichung

: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

a und

b

sind unbekannt
Gegeben sind zwei Ellipsenpunkte

A (x_{A}; y_{A})

und

B (x_{B}; y_{B})

sowie die Tangengleichungen von

t_{A}

und

t_{B}

.
Mittels Spaltform sehen die beiden Tangentengleichungen so aus:

\frac{x \cdot x_{A}}{a^{2}} + \frac{y \cdot y_{A}}{b^{2}} = 1

bzw.

\frac{x \cdot x_{B}}{a^{2}} + \frac{y \cdot y_{B}}{b^{2}} = 1

Da die Tangentengleichungen als bekannt vorausgesetzt werden, lassen sich

(z . B

. mit Koeffizientenvergleich ) die Halbachsen a und

b

bestimmen.

ODER
Tangentenanstieg

y'_{x_{A}} = - \frac{b^{2} \cdot x_{A}}{a^{2} \cdot y_{A}}

bzw.

y'_{x_{B}} = - \frac{b^{2} \cdot x_{B}}{a^{2} \cdot y_{B}}

Tangentenanstiege sind bekannt

\Rightarrow a

und

b

bestimmen.

anonymous

13:02 Uhr, 09.06.2016

Respon betonte schon: "Es handelt sich um eine Ellipse in 1. Hauptlage."
Ich ahne und im meinen Worten: Wie du in deiner Skizze angedeutet hast und ich Respons Beschreibung verstehe,
ist das Problem so eindeutig beschrieben, wenn die Hauptachsen der Ellipse als waagrecht bzw. senkrecht orientiert definiert sein sollen.

Bedenke:
Du hast 4 Informationen gegeben.
Und du hast 4 Unbekannte:

> x - +

y-Koordinate des Ellipsen-Mittelpunkts

>

wie Respon beschrieben hat, die Halbachsen-Parameter

a + b

Sollte die Ellipse aber auch schiefwinklig angeordnet werden können, dass vermute ich dringend, dass die Problemstellung vieldeutig wird.
Es bleiben nach wie vor 4 Informationen.
Mit dem Winkel kommt aber eine fünfte Unbekannte hinzu.

Friederik aktiv_icon

13:59 Uhr, 09.06.2016

Vielen Dank für die ausführlichen und äußerst hilfreichen Erklärungen, Respon und cositan.

In der Tat nehme ich an, dass die Hauptachsen orthogonal angeordnet sind - es tut mir Leid, dass ich diese Annahme in der Fragestellung zu erwähnen vergessen habe, aber vielen Dank, dass ihr mir gleich auch für diesen Fall eine Antwort mitgeliefert haben.

Damit wäre meine Frage zu meiner vollsten Zufriedenheit geklärt und ich wünsche euch beiden noch einen schönen Nachmittag!

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