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Definition von Halbgruppen - ich brauch nen Anstoß
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Halbgruppe
 
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Hallo Zusammen, ich bereite ich gerade auf mein erstes Semester vor und bin gerade bei algebraischen Strukturen angelangt: Zu Halbgruppen habe ich eine Frage:Die Definition von Halbgruppen lautet: Ein Tupel (H, *) bestehend aus einer nichtleeren Menge H und der Verknüpfung ist eine Halbgruppe, wenn dass Assoziativgesetz gilt. Was bedeutet die Formel, die die Verknüpfung definiert bzw. was bedeuten die einzelnen Elemente der Definition in prosa? Was bedeutet das "*" genau? Bei mir im Text steht "Das * kann für Addition und Multiplikation stehen". Was ist mit den anderen beiden Grundrechenarten? Oder lässt man die Weg da x-y ja nur x+(-y) und x/y ja nur x*(1/y) ist?
Eine generelle Frage schließt sich gleich an, wenn man die Definition des Assiziativgesetzes sieht: Wann schreibt man ein : (Doppelpunkt) und wann ein | (Pipe), wenn man etwas definiert?
Danke für eure Unterstützung! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, wenn Du Algebra möglichst gut absolvieren willst, dann löse Dich von den Zahlen und den Grundrechenarten! Eine Halbgruppe wird gemäß der Definition als ein Tupel (ein Tupel mit 2 Elementen wird auch Paar genannt) aus einer Menge (bei Halbgruppen gern genannt) und eine Verknüpfung (oder manchmal auch Operation genannt) auf dieser Menge (hier mit "*" bezeichnet, man hätte auch $ schreiben können, der "*" hat nämlich zunächst nichts, aber auch rein gar nichts, mit Multiplikation zu tun). Im folgenden wird die Operation näher bestimmt: ist das sogenannte Kreuzprodukt von Mengen. Das ist nichts anderes als ein Tupel (bei zwei Mengen wieder ein Paar), bei dem das erste Element aus der ersten und das zweite Element aus der zweiten Menge kommt. Hier kommen also alle Elemente des Paares aus Der ist genau das, was er in der Schule bei Verknüpfungen, Operationen, Abbildungen immer war. Er beschreibt, daß das Paar auf ein Element von abgebildet wird und die Schreibweise wird im folgenden dargestellt: Das Paar wird abgebildet auf den Wert der Operation ("*" ist hier die Operation und nicht die Multiplikation von Zahlen!) Der Doppelpunkt steht hier beim Lesen einfach für das Wort "gilt". Wann wird bei Dir in einer Definition "|" eingesetzt? Mach mal ein Beispiel! |
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Erst einmal danke für deine Antwort! Ich fasse noch einmal in meinen Worten zusammen:
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Hallo, "Zwei Elemente aus der Menge (HxH) werden auf und abgebildet und sind wie folgt verknüpft: x*y" - Leider nicht korrekt! Zwei Elemente aus der Menge werden als Paar auf ein Element aus abgebildet. Dieses Element wird dargestellt als . "Mengen, die mit einem verküpft mit einem Operator nennt man also Halbgruppe, wenn für die Verknüpfung mit dem Operator sowohl das Assiziativ, als auch das Kommutativgesetz gilt, oder?" - Schau in die Definition! Dort ist NUR vom Assoziativgesetz die Rede und das ist Absicht! Nicht alle Halbgruppen sind kommutativ! Das ist aber keine Definition (mathematische Definition) sondern eine Mengendefinition. Hier wird "nur" definiert, welche Elemente zur Menge gehören und gelesen wird das "|" auch . als "mit" oder auch mal als "für die gilt". |
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Also gibt es Halbgruppen (Assoziativgesetz) und kommutitive Halbgruppen (Assoziativ + Kommutativgesetz).
"Zwei Elemente aus der Menge werden als Paar auf ein Element aus abgebildet. Dieses Element wird dargestellt als " Sorry, wenn ich etwas nervig bin, aber ich glaube, den Satzteil "werden als Paar auf ein Element aus abgebildet" habe ich noch nicht ganz verstanden. Ich verstehe zwar, was gemeint ist, aber was bedeutet "auf ein Element aus H abgebildet"? Kann man das noch anders beschreiben? |
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Hallo, Es ist eine Abbildung, bei der nicht einem Element aus ein anderes Element aus zugeordnet wird, sondern einem Paar, besser sogar geordnetes Paar genannt, wird ein Element zugeordnet. Stell Dir zum Beispiel als die Menge aller Farben vor. Dann sei die Verknüpfung wie folgt definiert: Man nehme 4 Teile der ersten Farbe und 6 Teile der zweiten Farbe und man erhält durch diese Art der Abbildung eine andere Farbe. Es wird also . dem Paar (weiß,rot) ein ganz bestimmter Rosaton zugeordnet. Die Farben bilden mit dieser Verknüpfung allerdings keine Halbgruppe, das Assoziativgesetz gilt da nämlich nicht. Und natürlich dürfen in speziellen Halbgruppen auch weitere Gesetze gelten. Aber das gilt nur für einige Halbgruppen. Gilt das Kommutativgesetz, dann ist das eben eine kommutative Halbgruppe oder auch schon mal abelsche Halbgruppe genannt. |
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Hallo, auch auf die Gefahr hin, dass ihr mich lüncht, muss ich noch einmal eine Rückfrage stellen:
Ich verstehe den Zusammenhang zwischen Definition einer einer Menge, einer Verknüpfung und z.B. die "Anwendung" des Assoziativgesetzes noch nicht :(
"Ein Tupel (H,*), bestehend aus einer nichtleeren Menge H und der Verknüpfung heißt eine Halbgruppe, wenn gilt:
Warum taucht in der Definition der Verknüpfung nur x und y auf, in der Definition des Assoziativgesetzes aber x, y, und z? Muss ich in der Verknüpfung nicht noch z mit aufnehmen? Wenn nicht, sind x & y aus der Verknüpfung garnicht x&y aus dem Assoz.G.?
Sorry für die blöde Rückfrage :| Kann es evtl. jemand in einfachen Worten noch einmal erklären? Vielen Dank! |
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Hallo, das und das aus der Definition der Verknüpfung sind 2 Elemente aus denen als (geordnetes) Paar durch die Verknüpfung ein Wert aus zugeordnet wird. Da die Verknüfung 2-stellig ist, ist da nicht wirklich Platz für eine weitere Variable . Allerdings stehen und auch nicht für bestimmte, sondern für beliebige Elemente aus am Ende sogar für alle möglichen Elemente und als Paar sogar für alle möglichen Paare. Gleiches gilt für und beim Assoziativgesetz, sie stehen für alle möglichen Tripel (3-Tupel sagt man . nicht) und somit für sich selbst gesehen für alle möglichen Elemente aus H. Damit liegt es in der Natur der Sache, daß das und das aus diesem Teil nicht die selben und aus dem vorhergehenden Teil sind. Ich glaube, daß Dir an dieser Stelle das Bewußtsein dafür fehlt, daß es 2 Typen von Variablen gibt. Der erste Typ steht für Werte, die beliebig sind und es auch durchgehend bleiben (so wie in Deiner Definition). Der zweite Typ steht für Werte, die beliebig sind, aus diesen beliebigen Werten aber einer ausgewählt wird und in der Folge wird diesen Wert beibehalten und ist somit nicht mehr beliebig. Das einfachste Beispiel dafür sind die Kurvenscharen . Hier steht "x" im wahrsten Sinne des Wortes für einen x-beliebigen reelen Wert und "a" ist . auch eine beliebige reelle Zahl. Aber wenn man die Funktionen untersuchen will, wählt man eine Funktion exemplarisch aus (und damit auch den konkreten Wert von "a"), aber man sagt nicht genau welches, man weiß nur, daß dieses "a" für die folgenden Berechnungen immer gleich ist und sich wie eine Konstante verhält. Am Ende stellt man dann . fest, daß die Berechnungen für alle "a" analog verlaufen und die Folgerungen somit für alle "a" gelten. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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