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Definition von gewöhn. Differentialgle. verstehen

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integration, Partielle Differentialgleichungen, Sonstig

 
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infoxxg

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14:46 Uhr, 20.01.2019

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Guten Tag an alle.

Seit gestern Abend quäle ich mich mit folgender Definition.... (Bild habe ich unten hochgeladen)

Mir fehlt einfach ein konkretes Beispiel (am besten auch mit Vektoren), so dass ich diese Definition nachvollziehen kann.



Ich habe aber generell ein Problem beim Verständnis:



In der Definition haben wir ein Vektorfeld. Ein Vektorfeld ist sozusagen ein n-dimensionaler Vektor, dessen Komponentenfunktionen ja von n Variablen abhängen.

Also: v=(v1=(x1,,xn)vn=(x1,,xn))



Nun steht weiter:


Eine differenzierbare Kurve γ:IG heißt Lösung der autonomen Differentialgleichung erster Ordnung, fall tI gilt:


γ1ʹ(t)=v1(γ1(t),,γn(t))



γnʹ(t)=vn(γ1(t),,γn(t))




Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir nun ein Vektorfeld ( wegen v1,vn), das eben nur von einer Variablen t abhängt und nicht von mehreren Variablen, wie in der Voraussetzung. Wir hätten also eine Kurve. Warum ?

Ich verstehe absolut nicht, was mir diese Definition nun sagen will...

Kann mir da jemand vielleicht ein Beispiel dazu geben? Am besten mit Vektoren, weil ich im Internet immer nur Beispiele mit Skalarfelder finde....



Bin für jede Hilfe dankbar.





lolol

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pwmeyer

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17:24 Uhr, 20.01.2019

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Hallo,

nimm mal

v(x1,x2):=(x2-x1) und γ(t):=(sin(t)cos(t))

und berechen mal γ'(t) und vγ(t)

Gruß pwm
infoxxg

infoxxg aktiv_icon

20:27 Uhr, 20.01.2019

Antworten
Erstmal tausend Dank für deine Bemühungen, meine Frage zu beantworten.
Oh man, ich habe mich echt lange gefragt, was zum Teufel ein Vektorfeld dort zu suchen hat....

Ich versuche mal ein Beispiel durchzurechnen:




Das Beispiel habe ich woanders geschrieben und unten als Bild hochgeladen.

lololo
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pwmeyer

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10:39 Uhr, 21.01.2019

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Hallo,

ja, das wäre ein weiteres Beispiel

Gruß pwm
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