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Definitions und Bildbereich

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Funktionalanalysis

Tags: Definitions und Bildbereich, Funktionalanalysis

Gollum2009 aktiv_icon

15:58 Uhr, 11.11.2009

Hallo. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte denn ich verzweifle daran. Bitte die Lösungen kommentieren damit ich dies selber nachvollziehen kann. Die aufgaben sind als Bilder angehängt.Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

dywi- aktiv_icon

16:31 Uhr, 11.11.2009

linkes Bild:
Voraussetzung:

D_{f}, f (D_{f})

sind Teilmengen von

ℝ

.
1

a)

es ist

\sqrt{a}

stets

> 0

und a selbst

> 0

. Damit

D_{f} = {x | x \in ℝ

und

x \geq - 2}

F (D_{f}) = ℝ_{0}^{+}

b)

Es ist

e^{a} > 0

für alle

a \in ℝ

D_{f} = ℝ

F (D_{f}) = ℝ^{+}

(keine Null)

c)

analog zu

b)

bloß

- e^{a} < 0,

also

F (D_{f}) = ℝ^{-}

d)

Es ist

- \infty \leq ln (a) \leq \infty

für

a > 0,

also

x^{2} - 9 > 0

D_{f} = ℝ \ [- 3; 3] (ℝ

ohne das Intervall

[- 3; 3])

F (D_{f}) = ℝ

e)

es ist

- 1 \leq cos (φ) \leq 1

und damit

2 \leq cos (x) + 3 \leq 4,

sodass

\sqrt{a}

für alle

x \in ℝ

definiert ist.

D_{f} = ℝ

F (D_{f}) = {y | y \in I} = [\sqrt{2}; 2]

\ mit I=

[\sqrt{2}; 2]

rechtes bild:

a)

\sum_{i = 1}^{n} (i + 1) + \sum_{i = n + 1}^{m} (i + 1) = (1 + 1) + ... + (n + 1) + ((n + 1) + 1) + ... (m + 1) = \sum_{i = 1}^{m} (i + 1)

.
zu

b)

fällt mir grade keine vereinfachende Umformung ein, man kann

c

aber

z . b

. als

e^{ln (c)}

schreiben oder den Term auf

1 + \frac{o}{u}

bringen.

c)

2 \cdot ln (x^{3}) - 3 \cdot ln (x) = 2 \cdot 3 \cdot ln (x) - 3 \cdot ln (x) = 3 \cdot ln (x)

Gollum2009 aktiv_icon

17:07 Uhr, 11.11.2009

Hallo. Danke schön erstmal für die Antwort. Es gibt nur eine Sache die ich nicht verstehe...ne KLeinigkeit...aber da ich diese Aufgaben abgeben muss und es erläutern muss, frage ich lieber mal nach:-)

a)

es ist a stets

> 0

und a selbst

> 0

. Damit
Df=

{

x|x∈ℝ und x≥-2}
F(Df)=ℝ0+

b)

Es ist ea>0 für alle a∈ℝ
Df=ℝ
F(Df)=ℝ+ (keine Null)

Was bedeutet bei dir in Aufgabe

a)

das "a" genau? oder in Aufgabe

b)

das "ea" was sollen mir diese Variablen ausdrücken?

dywi- aktiv_icon

18:03 Uhr, 11.11.2009

a) a

soll eine beliebige Zahl sein - die Wurzel

\sqrt{a}

einer Zahl

a,

die größer als 0 ist, ist immer größer als 0.

b) e

ist die eulersche Zahl und a ist wieder eine beliebige Zahl

\in ℝ

. Man kann

e^{a}

auch als exp(a) schreiben. Die Funktion

f (x) = {(e)}^{a}

ist immer größer als 0.

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