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Definitionsbereich + Partialbruchzerlegung

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Tags: maximaler Definitionsbereich, Partialbruchzerlegung

Lexiii92 aktiv_icon

16:46 Uhr, 23.03.2015

Hallo onlinemathe-community!

Bestimmen Sie zu den nachstehenden rationalen Funktionen

R : D \to ℂ

zunächst den maximalen Definitionsbereich

D

Teilmenge/Gleich

ℂ

und bestimmen Sie anschließend die Partialbruchzerlegung!

a) F (z) = \frac{6 + 4 z}{z^{2} + z}

b) F (z) = \frac{1}{(z^{2} + 5 z + 6) \cdot (z + 1)}

c) F (z) = \frac{2 z + 6}{2 z^{2} + 3 z + 1}

d) F (z) = \frac{z^{2} - 2 z + 3}{z^{2} - 3 z + 2}

e) F (z) = \frac{4 + z^{3}}{(1 - z^{2}) \cdot {(1 + z)}^{2}}

f) F (z) = \frac{z^{4} - z^{3} + 3 z}{z^{2} \cdot (2 z + 4) \cdot (z - 3)}

z \in D

jeweils

Die Definitionsbereich sind dann doch, da wir im komplexen sind können wir die negative Wurzel "ziehen", also

a) D = ℂ \ {- 1,0}

b) D = ℂ \ {- 2,5 - \sqrt{- \frac{1}{4}}, - 2,5 + \sqrt{- \frac{1}{4}}, - 1}

c) D = ℂ \ {- \frac{3}{4} - \sqrt{- \frac{7}{16}}, - \frac{3}{4} + \sqrt{- \frac{7}{16}}}

d) D = ℂ \ {\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{5}{4}}, \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}}

e) D = ℂ \ {- 1,1}

f) D = ℂ \ {- 2, 0, 3}

Ist das so richtig? Ich habe einfach geschaut wann der Nenner Null wird.

Partialbruchzerlegung hatten wir noch nicht in der Vorlesung, daher bin ich ein wenig überfragt

: (

Danke!

Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 23.03.2015

"
Partialbruchzerlegung hatten wir noch nicht ..
"

\to

aber es sieht leider so aus, dass "wir" auch noch nicht
"Lösen von quadratische Gleichungen" hatten...?

jedenfalls habe ich nach den falsch gelösten Gleichungen

\to z^{2} + 5 z + 6 = 0

\to 2 z^{2} + 3 z + 1 = 0

. .

. bei

b)

und

c)

\to

es aufgegeben, weiter zu lesen..

Universität oder Fachhochschule oder

. .

?
.

aleph-math aktiv_icon

20:54 Uhr, 23.03.2015

Gut. Abend!

D. Ansatz ist schon richtig, nicht erlaubt sind Polstellen (Nenner=0). Im Einzelnen hab ich nicht alle nachgerechnet, aber sieht nicht schlecht aus, allerd. ist d. Schreibw. nicht korrekt: Neg. Radikand gibt's auch im Komplexen nicht, sond. müssen mit Hilfe v. "i" geschrieben werden, zB:

" \sqrt{- 0, 25} " = \sqrt{i^{2} . 0, 25} = i \sqrt{0, 25} = 0, 5 i

;

Partialbruch..: Wie kann eine Aufg. gestellt werden, wenn d. Stoff noch nicht behandelt wurde? Allerd. ist P. in naturwiss.kk Gymnasien (evt. auch and.) Schulstoff. Womögl. Pech gehabt.. :(
Ist aber keine Hexerei: "einfach" d. Umkehrg. von "2 Brüche gleichnamig machen"; das ist ja wohl bekannt!?

Gesucht sind also 2 Brüche bzw ration. Fkt. g & h, deren Summe d. Fkt F(z) ergeben:

F (z) = g (z) + h (z)

;
Wie ich seh, sind alle Nenner d. Produkt v. 2 Polynomen, dann sind schon mal d. Nenner v. g & h klar. Nun kommen d. Zähler dran, das bedeutet mehr Aufwand. Folg. Ansatz ist üblich:

g (z) = \frac{A}{N_{1}}

; bzw

h (z) = \frac{B}{N_{2}}

; sowie

F (z) = \frac{Z_{F}}{N_{F}}

; mit d. Nennern Nx & Zähler Zx

Sofort sieht man folg. Zusammenhang:

N_{F} = N_{1} \cdot N_{2}

Z_{F} = A * N_{2} + B * N_{1}

; evtl. haben Nx einen gemeins. Faktor, dann läßt sich kürzen.

Weiter geht's mit ein wenig Geschick & auch Spielerei.. Viel Erfolg!

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 23.03.2015

"
aber sieht nicht schlecht aus,.."

\to

das zu behaupten

\to

aleph-math

\to

ist ganz schön dreist ..

wie ich oben schon angedeutet habe

\to

es kann gar nicht schlechter aussehen !

Tipp für deine Weiterbildung :
rechne nach: es sind hier bei allen Aufgaben
die Nullstellen des Nenners rein reelle Zahlen ..

.

Lexiii92 aktiv_icon

10:47 Uhr, 24.03.2015

Also das war gestern ein Reinfall sorry.

Die Definitionsbereiche:

a) D = ℂ \ {- 1,0}

b) D = ℂ \ {- 1, - 2, - 3}

c) D = ℂ \ {- 1, - \frac{1}{2}}

d) D = ℂ \ {1,2}

e) D = ℂ \ {- 1,1}

f) D = ℂ \ {- 2, 0,3}

Aber bei der Partialbruchzerlegung weiß ich noch nicht ganz weiter. Da finde ich immer unterschiedliche Beispiele

: (

Lexi

Respon

10:49 Uhr, 24.03.2015

Partialbruchzerlegung: Welches Beispiel möchtest du behandeln?

Lexiii92 aktiv_icon

10:59 Uhr, 24.03.2015

Nehmen wir erstmal

a)

\frac{6 + 4 z}{z^{2} + z}

Also erstmal ausklammern bzw. faktorisieren.

Ich kann im Zähler 2 ausklammern und im Nenner, aber im Nenner alleine

z

geht nicht?

Respon

11:06 Uhr, 24.03.2015

Der Zähler ist hier nicht so wichtig.
Nenner

: z^{2} + z = z \cdot (z + 1)

Allgemeiner Ansatz

\frac{6 + 4 \cdot z}{z^{2} + z} = \frac{6 + 4 \cdot z}{z \cdot (z + 1)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z + 1}

\frac{A}{z} + \frac{B}{z + 1} = \frac{A \cdot z + A + B \cdot z}{z \cdot (z + 1)} = \frac{(A + B) \cdot z + A}{z \cdot (z + 1)}

Und jetzt

z . B

. weiter mit Koeffizientenvergleich.

A + B = 4

A = 6

...

. A und

B

bestimmen.

Lexiii92 aktiv_icon

11:14 Uhr, 24.03.2015

Dann ist

B = - 2

nach Adam Riese.

Dann ist die Partialbruchzerlegung:

\frac{6}{z} - \frac{2}{z + 1}

bei

b)

kann ich dann ja die Nullstellen ausnutzen?

\frac{1}{(z + 3) \cdot (z + 2) \cdot (z + 1)}

Aber wie bekomme ich die Buchstaben hin? Da blicke ich noch nicht ganz dahinter

: (

Respon

11:57 Uhr, 24.03.2015

A = 6

!!

Also

\frac{6}{z} - \frac{2}{z + 1}

Respon

12:11 Uhr, 24.03.2015

b)

\frac{1}{(z^{2} + 5 \cdot z + 6) \cdot (z + 1)} = \frac{1}{(z + 2) \cdot (z + 3) \cdot (z + 1)} = \frac{A}{z + 2} + \frac{B}{z + 3} + \frac{C}{z + 1}

Nun die Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen.

\frac{A \cdot (z + 3) \cdot (z + 1) + B \cdot (z + 2) \cdot (z + 1) + C \cdot (z + 2) \cdot (z + 3)}{(z + 2) \cdot (z + 3) \cdot (z + 1)}

Vereinfacht man den Zähler, so erhält man

\frac{(A + B + C) \cdot z^{2} + (4 \cdot A + 3 \cdot B + 5 \cdot C) \cdot z + (3 \cdot A + 2 \cdot B + 6 \cdot C)}{(z + 2) \cdot (z + 3) \cdot (z + 1)}

Ein Koeffizientenvergleich mit dem Anfangsterm ergibt:

A + B + C = 0

4 \cdot A + 3 \cdot B + 5 \cdot C = 0

3 \cdot A + 2 \cdot B + 6 \cdot C = 1

Löst man dieses LGS auf, so erhält man

A = - 1

B = \frac{1}{2}

C = \frac{1}{2}

Lexiii92 aktiv_icon

14:44 Uhr, 24.03.2015

Genau.

bei

c)

habe ich dann folgendes:

\frac{2 z + 6}{2 z^{2} + 3 z + 1} = \frac{2 z + 6}{(z + 1) \cdot (z + \frac{1}{2})} = \frac{A}{z + 1} + \frac{B}{z + \frac{1}{2}} = \frac{(A + B) \cdot z + (\frac{1}{2} A + B)}{(z + 1) \cdot (z + \frac{1}{2})}

Also:

A + B = 2

\frac{1}{2} A + B = 6

B = 10

und

A = - 8

Also

- \frac{8}{z + 1} + \frac{10}{z + \frac{1}{2}}

Aber bei der

d)

bleibe ich hängen bei:

\frac{z^{2} - 2 z + 3}{z^{2} - 3 z + 2} = \frac{z^{2} - 2 z + 3}{(z - 1) \cdot (z - 2)}

jetzt weiß ich nicht wie ich aufteilen soll, weil ich im Nenner ja zwei Nullstellen habe und mir iwie dann eine fehlt

: (

Ich danke!

Lexi

aleph-math aktiv_icon

19:01 Uhr, 24.03.2015

Tag!

Ich muß "rundblick" recht geben, d. 1.Anlauf war tats. falsch. Das nicht (sofort) erkannt zu haben, lag einfach daran, daß ich nicht nachgerechnet hatte. Mea culpa! Mittlerw. hab ich das getan u. kann "Lexi" (diesm. zu recht) bestätigen, alles Paletti!

Nun zu d). Da ein Quadrat vorkommt, brauchen wir einen 3. Koeff. C. Allerd. fehlt (richtig erkannt!) ein 3.Nenner; macht nichts, es geht auch ohne mit folg. Ansatz:

\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - 2} + C = \frac{z^{2} - 2 z + 3}{z^{2} - 3 z + 2}

;

Ausmultipl. & Koeff.vergleich gibt C=1. Einsetzen gibt LGS :

A + B = 1 & 2 A + B = - 1

; => Lösg:

A = - 2

bzw

B = 3

;

\Rightarrow F (z) = 1 - \frac{2}{z - 1} + \frac{3}{z - 2}

;

e) & f) rechne ich gerade; mit wachs. Potenz wird's nat. immer komplexer.

Schöne Grüße ß weiter gutes Gelingen! -GA

Lexiii92 aktiv_icon

08:32 Uhr, 25.03.2015

Ist denn

c)

soweit richtig?

Bei

d)

gerate ich irgendwie unter die Räder.

Der Ansatz ist ja

\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - 2} + C = \frac{z^{2} - 2 z + 3}{z^{2} - 3 z + 2}

wenn ich jetzt ausmultiplizieren und erweitert kommt man ja zu:

\frac{(A + B) \cdot z - 2 A - B + C \cdot (z - 1) \cdot (z - 2)}{z^{2} - 3 z + 2}

Aber wieso ist jetzt

C = 1

? Wo lese ich das ab?

Und wie kommt man zu den anderen Gleichungen

A + B = 1

2 A + B = 1

?

Bei

e)

habe ich es jetzt so gemacht:

\frac{4 + z^{3}}{(1 - z^{2}) \cdot {(1 + z)}^{2}} = \frac{A}{1 - z^{2}} + \frac{B}{1 + z} + \frac{C}{1 + z}

geht das so?

Lexi

Respon

09:10 Uhr, 25.03.2015

Zwei Themen solltest du nochmals durchackern: Partialbruchzerlegung mit mehrfachen Nullstellen und irreduziblen Polynomen und Koeffizientenvergleich.
zu

e)

Leider nein, denn

. .

\frac{4 + z^{3}}{(1 - z^{2}) \cdot {(1 + z)}^{2}} = \frac{4 + z^{3}}{(1 - z) \cdot (1 + z) \cdot {(1 + z)}^{2}} = \frac{4 + z^{3}}{(1 - z) \cdot {(1 + z)}^{3}} = \frac{A}{1 - z} + \frac{B}{1 + z} + \frac{C}{{(1 + z)}^{2}} + \frac{D}{{(1 + z)}^{3}}

Und ob deine Zerlegung richtig ist kannst du ja mit einer Probe überprüfen.

Lexiii92 aktiv_icon

09:34 Uhr, 25.03.2015

Ist denn die

c)

richtig? Wir hatten es noch nicht in der Vorlesung, und das was ich darüber gelesen habe, da verstehe ich noch nicht alles?
Dem Sinn dahinter komme ich auch nicht ganz auf die Spur. Wir suchen Nullstellen, klar damit der Nenner nicht Null wird und das nutzen wir dann aus wenn wir es umformen. Das Endresultat sagt mir aber nicht wirklich was.
Die Probe? Wie meinst du das? Ich muss doch alles auf gleiche Potenzen bringen, also zumindestens auf die gleiche höchste?

Danke!!!

Lexi

Respon

09:49 Uhr, 25.03.2015

Wie man hier die Probe macht ?

z . B

.
Angabe

: \frac{6 + 4 \cdot z}{z^{2} + z}

Das Ergebnis unserer Zerlegung war

\frac{6}{z} - \frac{2}{z + 1}

Frage : Ist das korrekt ?
Ich forme das Ergebnis um ( gemeinsamer Nenner, reduzieren usw. )

\frac{6}{z} - \frac{2}{z + 1} = \frac{6 \cdot (z + 1)}{z \cdot (z + 1)} - \frac{2 \cdot z}{z \cdot (z + 1)} = \frac{6 \cdot (z + 1) - 2 \cdot z}{z \cdot (z + 1)} = \frac{6 \cdot z + 6 - 2 \cdot z}{z^{2} + z} = \frac{6 + 4 \cdot z}{z^{2} + z}

Nachdem das unser Anfangsterm ist, können wir - fast - sicher sein, dass wir richtig umgeformt haben.

Deine Rechenschritte wirken immer ein wenig wie "Versuch und Irrtum". Partialbruchzerlegung läuft aber eigentlich immer nach dem gleichen Schema ab.
Also weiter machen !

Lexiii92 aktiv_icon

14:05 Uhr, 25.03.2015

Nehmen wir mal das Beispiel

e)

jetzt.

ich verstehe, dass

\frac{4 + z^{3}}{(1 - z) \cdot (1 + z) \cdot {(1 + z)}^{2}} = \frac{4 + z^{3}}{(1 - z) \cdot {(1 + z)}^{3}}

ist.

Wir haben dann bzw. du hast Respon dann den Schritt gemacht, dass

\frac{4 + z^{3}}{(1 - z) \cdot {(1 + z)}^{3}} = \frac{A}{1 - z} + \frac{B}{1 + z} + \frac{C}{{(1 + z)}^{2}} + \frac{D}{{(1 + z)}^{3}}

Die ersten "Teile"

\frac{A}{1 - z} + \frac{B}{1 + z}

sind mir ja noch klar je eine Nullstelle ein Koeffizient. Wieso folgt aber dann

+ \frac{C}{{(1 + z)}^{2}} + \frac{D}{{(1 + z)}^{3}}

und vor allem wieso quadratisch und kubisch im Nenner?

: (

Lexi

Roman-22

15:18 Uhr, 25.03.2015

>

Wieso folgt aber dann

+ \frac{C}{{(1 + z)}^{2}} + \frac{D}{{(1 + z)}^{3}}

und vor allem wieso

>

quadratisch und kubisch im Nenner?

Weil es sich bei

z = - 1

um eine dreifache reelle Polstelle (Nullstelle des Nenners) handelt.
Die grundlegende Theorie kannst du ja deinem Buch/Skriptum oder diversen Internetseiten wie etwa

http//de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
oder
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm
oder

... .

.

entnehmen.

Zwei Anmerkungen noch:

1)

Zur Aufgabe

d) :

Hier ist der Grad des Zählerpolynoms nicht kleiner als jener des Nennerpolynoms. In diesem Fall sollte vor der PBZ eine Polynomdivison durchgeführt werden und du erhältst

\frac{z^{2} - 2 z + 3}{z^{2} - 3 z + 2} = 1 + \frac{z + 1}{z^{2} - 3 z + 2}

. Dann PBZ wie gewohnt.
Bei Aufgabe

f)

liegt ein ähnlicher Fall vor. Hier empfiehlt sich außerdem noch durch

z \neq 0

zu kürzen.

2)

Bestimmung der Koeffizienten. Bisher wurde dir die Methode des Koeffizientenvergleichs gezeigt. Ein anderer Weg, die Koeffizienten zu bestimmen, ist das Einsetzen beliebiger Werte. Dies ist besonders bei Vorliegen reeller Polstellen von Vorteil. Ideal wird es damit, wenn der Nenner nur einfache reelle Nullstellen besitzt. Wenn man diese einsetzt, ergeben sich die Koeffizienten sofort, ohne dass ein Gleichungssystem zu lösen wäre. Bei Vorliegen mehrfacher reeller oder auch komplexer Polstellen ist es dann nicht mehr ganz so einfach, aber trotzdem kann man auch hier einige Koeffizienten bestimmen, indem man die (so vorhanden) reellen Polstellen einsetzt. Gehen einem die reellen Polstellen dann aus, so kann man den Rest wie gewohnt mit Koeffizientenvergleich erledigen oder aber beliebige andere Werte (etwa

0, \pm 1,

etc.) einsetzen und das sich ergebende Gleichungssystem lösen.

Der einfachste Fall einmal anhand der Aufgabe

b)

Du hattest hier schon

\frac{1}{(z^{2} + 5 z + 6) \cdot (z + 1)} = \frac{1}{(z + 2) \cdot (z + 3) \cdot (z + 1)} = \frac{A}{z + 2} + \frac{B}{z + 3} + \frac{C}{z + 1}

und in der Folge dann (auf gemeinsamen Nenner bringen und Zähler vergleichen)

1 = A \cdot (z + 3) \cdot (z + 1) + B \cdot (z + 2) \cdot (z + 1) + C \cdot (z + 2) \cdot (z + 3)

Nun kannst du dir eine beliebige Zahl ausdenken und diese links und rechts anstelle von

z

einsetzen. Links (der Zähler der Angabe) könnte ja

u . U

auch noch

z

vorkommen.
Du erhältst damit eine Gleichung in

A, B

und C. Wenn du das dreimal machst, hast du drei Gleichungen für

A, B,

und

C

und kannst das System lösen.
Der Trick ist nun, geschickte Werte zu wählen und das sind die reellen Polstellen, hier also

- 1, - 2

und

- 3

.
Einsetzen von

z = - 1 : \to 1 = A \cdot 2 \cdot 0 + B \cdot 1 \cdot 0 + C \cdot 1 \cdot 2 \Rightarrow C = \frac{1}{2}

Einsetzen von

z = - 2 : \to 1 = A \cdot 1 \cdot (- 1) + B \cdot 0 \cdot (- 1) + C \cdot 0 \cdot 1 \Rightarrow A = - 1

Einsetzen von

z = - 3 : \to 1 = A \cdot 0 \cdot (- 2) + B \cdot (- 1) \cdot (- 2) + C \cdot (- 1) \cdot 0 \Rightarrow B = \frac{1}{2}

Es war also weder nötig, auszumultiplizieren um die Koeffizienten von

z^{3},

etc. zu bestimmen, noch mussten wir ein Gleichungssystem lösen.
So einfach geht's natürlich nur, wenn wir ausschließlich einfache reelle Polstellen haben, aber auch in anderen Fällen kann diese Methode ein wenig Arbeit sparen.

Gruß

R

Lexiii92 aktiv_icon

17:57 Uhr, 25.03.2015

Auf die Seiten bin ich schon gestoßen, wenn man dann Schritt für Schritt verfolgt dann ist es ja nachvollziehbar. Jetzt habe ich mir ein Video angeschaut und bin noch verwirrter

: (

Das Vorgehen bei Wikipedia ist auch nicht ganz komplett, finde ich. Und "geeigneter Ansatz" ist wie "geeignete Verhütung" trotzdem kann man schwanger werden bzw. geeignet falsch wählen^^;D

Das man zuerst den Grad des Zählers und Nenners vergleicht und dann entsprechend handelt, ist mir klar geworden. Das Problem ist den geeigneten Ansatz zu wählen. Manchmal wie in einem Video (Oberprima) das erste zu PZB wird Polynomdivision durchgeführt und dann erhält man

x - 2 + \frac{5 x + 1}{x^{2} + 4 x + 1}

und das

x - 2

wird gar nicht betrachtet und dann soll irgendwie integriert werden?

Ich bin wirklich sehr dankbar für die zahlreiche Hilfe, ich bin mit Sicherheit weiter als am Anfang, aber so den groben Schliff muss ich noch machen, das ist mir klar.

Lexi

Roman-22

21:42 Uhr, 25.03.2015

Ich weiß jetzt nicht, ob das jetzt noch eine Frage war, aber zur Sicherheit:

Das mit dem Ansatz für die PBZ ist gar nicht so mysteriös, wie es vielleicht auf den ersten Blick erscheint.
Nach der

u . U

. nötigen Polynomdivision, wenn der Grad des Zählers nicht kleiner als der des Nenners ist, gibt es für den Ansatz nur vier verschiedene Fälle. Entscheidend sind die Nullstellen des Nennerpolynoms - jede reelle Nullstelle erzeugt einen Bruch im Ergebnis, jedes Paar konjugiert komplexer Nullstellen ebenfalls einen Bruch.

Die ersten wichtige Frage ist, ob die Nullstelle

x_{1}

reell ist. Dann haben wir den Ansatz

\frac{A}{x - x_{1}}

.
Die nächste Frage ist nach der Vielfachheit der Nullstelle. Kommt

x_{1}

etwa dreimal als Nennernullstelle vor, dann resultieren daraus auch drei Brüche

\frac{A}{x - x_{1}} + \frac{B}{{(x - x_{1})}^{2}} + \frac{C}{{(x - x_{1})}^{3}}

.

Konjugiert komplexe Nullstellen erkennst du daran, dass bei der Faktorisierung des Nenners quadratische Faktor, die im Reellen nicht weiter zerlegbar sind, übrig bleiben.
Wenn etwa im Nenner ein Faktor

{(x^{2} - 4 x + 13)}^{2}

auftritt, so haben wir es mit zweifachen(wegen dem Quadrat am Ende) konjugiert komplexen Nullstellen zu tun. Wenn du

x^{2} - 4 x + 13 = 0

löst, so erhältst du

x_{1,2} = 2 \pm 3 \cdot i,

also keine reellen Lösungen.
Für die PBZ bedeutet dies den Ansatz

\frac{A \cdot x + B}{x^{2} - 4 x + 13} + \frac{C \cdot x + D}{{(x^{2} - 4 x + 13)}^{2}}

.

Das wars auch schon. Also Nullstelle reell oder komplex und Nullstelle einfach oder mehrfach auftretend, das sind die beiden Kriterien für den Ansatz bei der PBZ.

Noch ein abschließendes Beispiel

(. .

. ist ein Polynom mit Grad kleiner als 9:

\frac{...}{(x^{3} - 2 \cdot x^{2} + x) \cdot {(x^{3} + 4 \cdot x)}^{2}} = \frac{...}{x^{3} \cdot {(x - 1)}^{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{C_{1}}{x} + \frac{C_{2}}{x^{2}} + \frac{C_{3}}{x^{3}} + \frac{C_{4}}{x - 1} + \frac{C_{5}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C_{6} \cdot x + C_{7}}{x^{2} + 4} + \frac{C_{8} \cdot x + C_{9}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}

Gruß

R

aleph-math aktiv_icon

03:08 Uhr, 26.03.2015

Gu. Abend!

@"Lexi", 8.30h
>"ist c) richtig?"
-ja! Ich hab A & B zwar andersrum defin., aber d. Ergebnis ist gleich:

F (z) = \frac{10}{z + 0.5} - \frac{8}{z + 1} = \frac{20}{2 z + 1} - \frac{8}{z + 1}

; f. "schöne" Nenner.

>"wieso ist C=1? (Aufg. d)"
Wenn man (richtig:-) ausmultipl., erhält man 1 u. nur 1 Term

C z^{2}

. Koeff.vergleich mit d. Orig.term

z^{2}

ergibt eben C=1. Das LGS f. A & B ergibt sich dann (wie erwähnt), indem man C in d. übrigen Terme einsetzt:

(A + B - 3 C) z = - 2 z & 2 A + B - 2 C = - 3

\Rightarrow A + B = 1 & 2 A + B = - 1

; weiter wie gehabt..

@"Versuch & Irrtum.."
Mögl.weise ist d. Verfahren nicht ganz klar bzw geläufig. Zusätzl. zu wiki, Videos etc. versuch ich eine prakt. Erklärung:
Die prinzip. Idee ist wie gesagt d. Umkehrung d. "Gleichnamig-machen". Dazu sind folg. Schritte nötig:

1) Linearfaktoren d. Nenners ermitteln; dazu werden d. Null(=Pol)stellen benötigt. Nach d. "Algebr. Fundamentalsatz" (o. ähnl.) gilt nämlich:
"Sind

x_{i}

d. Nullstellen einer algebr. Fkt. f(x) (hier ganzration. Nenner-Polynom) v. Grad n, so gilt:

f (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - x_{i})

" ; d. Klammerausdruck nennt man "Linearfaktor"

.2) Ansatz lt. allg. Bruchstruktur:

F (z) = A_{0} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{A_{i}}{z - z_{i}}

;
.. die einzelnen A_i sind d. A, B, C.. v. ob.

Wenn d. Grad d. Zählerpolynoms höher als der d. Nennerpol. ist, kann man entw. dividieren (s. zB. "rund..") o. wie ich einen einfachen (ganzration.) Koeff. (oben war das C) addieren. Was einem lieber(=einfacher) ist, kommt auf persönl. Geschmack & Kenntnis an. Jedenf. gilt:
n = Grad d. (restl.) Zählerpolynoms, man "braucht" also n+1 Koeff. A, B, C, ...
(@"rund.." Das ist keine sehr mathem. Darstellung, ich glaube bzw hoffe, dafür verständlich(er). ;-)

3) Gleichnamig machen, also Zählerkoeff. mit Nenner-Faktoren multipl. "Mathem." sollte das so aussehn:

\forall i = 0 . . n : A_{i} \cdot \prod_{j = 1, j \neq i}^{n} (z - z_{j})

;

Dann Ausmult., Zusammenfassen & nach Potenzen v. z ordnen:

g (A, B, . .) z^{n} + h (A, B, . .) z^{n - 1} + . . = a z^{n} + b z^{n - 1} + . .

;

4) Besagter Koeff.vgl. besteht dann darin, f. jede Potenz (inkl. n=0, also d. konst. Glieds) d. Kombin.(=Fkt) v. A, B, .. mit dem entspr. Koeff. des orig. Zählerpolynoms gleichzusetzen. In 3) also (f. Aufg. d):

g (A, B, . .) = a = 1; h (A, B, . .) = b = - 2

; usw.
I.d.R. ergibt das ein LGS f.d. Koeff. A, B.. etc. In einfachen Fällen sind d. Koeff. sogar direkt abzulesen.

Dies gilt zumind. für einfache, reelle Nullstellen. Komplx. Lösg. sind nicht viel schwerer, man muß nur berücksicht., daß auch d. Konjug.

{\tilde{z}}_{i}

eine Lösg., dh. Nullstelle ist.
Mehrfache Nullst. muß ich mir anschauen; "rund.." & "respon" haben zwar korrekte Vorlage gegeben, ist aber verd.. viel Rechenarbeit. Ich versuch, eine "Abkürzg." zu finden (s. nächster Absatz).

e) schau ich mir noch an. Das ^2 & ^3 ist auch mir nicht ganz geläufig, wie ich gestehen muß. Plausibel ist es, damit jede Potenz vorkommt, ich prob. jedoch einen Ansatz ähnl. d), also mit ganzration. Koeff. C, D..

Einstw. gutes Gelingen, dh. "good luck so far.." -GA

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05:53 Uhr, 02.04.2015

Gu. Morgen!
NB: Wenn d. Interesse schwindet, sind weitere Fragen eigt. obsolet. Folg. Beitrag wurde allerd. schon lange davor vorbereitet, außerdem interess. mich das korrekte Ergebnis. Wen's stört, muß halt skippen.. Auf geht's!

Ausgehend von

F (z) = - \frac{z^{3} + 4}{(z - 1) (z + 1)^{3}}

("-" wg. "Standard"-Nenner) liefern div. Methoden folg. Ergebnisse:

1) Klassisch (mit "Quadrat & Kubik"). "Gleichnamig-machen" führt zu:

A (z + 1)^{3} + B (z - 1) (z + 1)^{2} + C (z - 1) (z + 1) + D (z - 1) = - (z^{3} + 4)

; jetzt ordnen:

(A + B) z^{3} + (3 A + B + C) z^{2} + (3 A - B + D) z + A - B - C - D = - z^{3} - 4

Gl.(1)
=> LGS in Matrix-Form:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} A \\ B \\ C \\ D \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array})

;

\binom{Inv.}{\Rightarrow} (\begin{array}{rcl} 1 / 8 & 1 / 8 & 1 / 8 & 1 / 8 \\ 7 / 8 & - 1 / 8 & - 1 / 8 & - 1 / 8 \\ - 6 / 5 & 3 / 4 & - 1 / 4 & - 1 / 4 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 & - 1 / 2 \end{array}) (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} A \\ B \\ C \\ D \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 0.625 \\ - 0.375 \\ 2.25 \\ 1.50 \end{array})

.

Für "normale" Übg.aufg. sind das recht "krumme" Werte, also fragwürdig.

2) "rund.."s Polstellen-Methode. Allerd. gibt's nur 2 Pole f. 4 Koeff.! Ich hab daher zusätzl. 0 (läßt nur die konst. Glieder übrig) & 2 genommen. Einsetzen in (1) liefert 4 Gl.:
z= 0:

A - B - C - D = - 4

;
z=-1:

- (A + B) + (3 A + B + C) - (3 A - B + D) + A - B - C - D = - 2 D = - (4 - 1) = - 3

;
z=+1:

(A + B) + (3 A + B + C) + (3 A - B + D) + A - B - C - D = 8 A = - (1 + 4) = - 5

;
z=+2:

(A + B) 8 + (3 A + B + C) 4 + (3 A - B + D) 2 + A - B - C - D = 27 A + 9 B + 3 C + D = - (8 + 4) = - 12

;

Daraus ergeben sich unmittelbar 2 Lösg.: A=-5/8=-0.675; D=3/2=1.5;
Übrig bleibt ein LGS f. B & C:

B + C = 15 / 8 \land 3 B + C = 9 / 8

; mit d. restl. Lösg. B=-3/8=-0.375; C=9/4=2.25 .

Das sind zwar d. gleichen Lösg. wie in 1) (scheine richtig gerechnet zu haben :-), krumm sind & bleiben sie trotzdem.

Ich hab noch einen anderen Ansatz mit anderem Ergebnis, der kommt aber extra, d. Editor meckert schon lang, d. Text wäre zu lang. :(
Einstw. Danke für d. Geduld! Würde mich über Bestätg. o. Revision dehr freuen! -GA

** EDIT: Latex-Code aufgelöst; Layout modifiz.

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16:30 Uhr, 03.04.2015

F (z) = - \frac{z^{3} + 4}{(z - 1) (z + 1)^{3}}

("-" wg. "Standd."-Schreibw. im Nenner) liefern div. Methoden folg. Ergebnisse:

1) Klassisch (mit "Quadrat & Kubik"). "Gleichnamig-machen" führt zu:

A (z + 1)^{3} + B (z - 1) (z + 1)^{2} + C (z - 1) (z + 1) + D (z - 1) = - (z^{3} + 4)

; jetzt ordnen:
Gl.1

(A + B) z^{3} + (3 A + B + C) z^{2} + (3 A - B + D) z + A - B - C - D = - z^{3} - 4

=> LGS in Matrix-Form:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} A \\ B \\ C \\ D \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array})

;

\binom{Inv.}{\Rightarrow} (\begin{array}{rcl} 1 / 8 & 1 / 8 & 1 / 8 & 1 / 8 \\ 7 / 8 & - 1 / 8 & - 1 / 8 & - 1 / 8 \\ - 6 / 5 & 3 / 4 & - 1 / 4 & - 1 / 4 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 & - 1 / 2 \end{array}) (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} A \\ B \\ C \\ D \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 0.625 \\ - 0.375 \\ 2.25 \\ 1.50 \end{array}) .

Für "normale" Übg.aufg. sind das recht "krumme" Werte, also etwas fragwürdig.

2) "rund.."s Polstellen-Methode. Allerd. gibt's nur 2 Pole f. 4 Koeff.! Ich hab daher zusätzl.

z = 0

(läßt nur die konst. Glieder übrig) &

z = 2

genommen. Einsetzen in (1) liefert 4 Gl.:

z = 0

A - B - C - D = - 4

;

z = - 1

- (A + B) + (3 A + B + C) - (3 A - B + D) + A - B - C - D = 1 - 4 \Rightarrow 2 D = 3;

z = + 1

(A + B) + (3 A + B + C) + (3 A - B + D) + A - B - C - D = - 1 - 4 \Rightarrow 8 A = - 5;

z = + 2

(A + B) 8 + (3 A + B + C) 4 + (3 A - B + D) 2 + A - B - C - D = - 8 - 4 \Rightarrow 27 A + 9 B + 3 C + D = - 12;

Daraus ergeben sich unmittelbar 2 Lösg.:

A = - \frac{5}{8} = - 0.675; D = \frac{3}{2} = 1.5;

Übrig bleibt ein LGS f. B & C:

B + C = \frac{15}{8} \land 3 B + C = \frac{9}{8}

; mit d. restl. Lösg.:

B = - \frac{3}{8} = - 0.375; C = \frac{9}{4} = 2.25 .

Das ist zwar d. gleiche Ergebnis wie d. "Klassische" (anschein. hab ich doch richtig gerechnet :-), krumm sind & bleiben sie trotzdem.

Ich hab noch einen anderen Ansatz mit anderem Ergebnis, der kommt aber extra, d. Editor meckert schon lang, d. Text wäre zu lang. :( Einstw. Danke für d. Aufmerksamk.& Geduld!

Würde mich über Bestätg. o. Revision sehr freuen! -GA

** EDIT: Latex-Code aufgelöst; Layout modifiz.

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22:46 Uhr, 03.04.2015

F (z) = - \frac{z^{3} + 4}{(z - 1) (z + 1)^{3}}

("-" wg. "Standard"-Schreibw. im Nenner) liefern div. Methoden folg. Ergebnisse:

1) Klassisch (mit "Quadrat & Kubik"). "Gleichnamig-machen" führt zu:

A (z + 1)^{3} + B (z - 1) (z + 1)^{2} + C (z - 1) (z + 1) + D (z - 1) = - (z^{3} + 4)

; jetzt ordnen:
(1)

(A + B) z^{3} + (3 A + B + C) z^{2} + (3 A - B + D) z + A - B - C - D = - z^{3} - 4

=> LGS in Matrix-Form:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} A \\ B \\ C \\ D \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array})

;

\binom{Inv.}{\Rightarrow} (\begin{array}{rcl} 1 / 8 & 1 / 8 & 1 / 8 & 1 / 8 \\ 7 / 8 & - 1 / 8 & - 1 / 8 & - 1 / 8 \\ - 6 / 5 & 3 / 4 & - 1 / 4 & - 1 / 4 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 & - 1 / 2 \end{array}) (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} A \\ B \\ C \\ D \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 0.625 \\ - 0.375 \\ 2.25 \\ 1.50 \end{array}) .

Für "normale" Übg.aufg. sind das recht "krumme" Werte, also etwas fragwürdig.

2) "rund.."s Polstellen-Methode. Allerd. gibt's nur 2 Pole f. 4 Koeff.! Ich hab daher zusätzl. z=0 (läßt nur die konst. Glieder übrig) & z=2 genommen. Einsetzen in (1) liefert 4 Gl.:

z = 0

A - B - C - D = - 4;

z = - 1

- (A + B) + (3 A + B + C) - (3 A - B + D) + A - B - C - D = 1 - 4 \Rightarrow 2 D = 3;

z = + 1

(A + B) + (3 A + B + C) + (3 A - B + D) + A - B - C - D = - 1 - 4 \Rightarrow 8 A = - 5;

z = + 2

(A + B) 8 + (3 A + B + C) 4 + (3 A - B + D) 2 + A - B - C - D = - 8 - 4 \Rightarrow 27 A + 9 B + 3 C + D = - 12;

Daraus ergeben sich unmittelbar 2 Lösg.:

A = - \frac{5}{8} = - 0.675; D = \frac{3}{2} = 1.5;

Übrig bleibt ein LGS f. B & C:

B + C = \frac{15}{8} \land 3 B + C = \frac{9}{8}

; mit d. restl. Lösg.:

B = - \frac{3}{8} = - 0.375; C = \frac{9}{4} = 2.25 .

Mathe45

23:40 Uhr, 03.04.2015

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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