Definitionsmenge bei Wurzelgleichungen

Hallo miteinander. Ich habe eine Frage zur Definitionsmenge von Wurzelgleichungen. Ein Beispiel:

${\displaystyle \frac{3}{2\cdot \sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{2}{\sqrt{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}}}$

Ich würde nun folgende Definitionsmenge erkennen:

${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\backslash \{0;-1;1\}}$

Laut Lösung im Buch lautet sie aber:

${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\backslash \left\{1\right\}}$

Wieso ist das so? Auf der rechten Seite der Gleichung gilt doch bei x=-1 im Nenner

${\displaystyle \sqrt{2\cdot (-1)-2}=\sqrt{-2-2}=\sqrt{-4}}$

Und für negative Zahlen ist die Diskriminante doch nicht definiert?

Wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar.

Entschuldige. Ich kann deiner Erklärung nicht ganz folgen. Die Radikanden müssen doch größer oder gleich 0 sein? Also kann es nur deswegen 1 sein und nicht -1? Warum aber wird 0 nicht aufgeführt?

In meinem Buch wird bei dem oben erwähnten Beispiel die Definitionsmenge folgendermaßen beschrieben:

${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0\}\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1\}\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1\}\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Wie ist das Symbol " ${\displaystyle \cap }$ " zu verstehen? Und wieso wird die 0 aufgeführt aber letztlich doch nur die 1 als D gewählt?

Vielen Dank für die rasche Antwort!

Also muss die Definitionsmenge von Gleichungen bei denen im Nenner eine Wurzel steht (bzw. bei denen die Variable x unter der Wurzel steht) so gewählt werden, dass der Radikand nicht Null wird? Und Zahlen die eingesetzt den Radikand negativ machen werden außer Acht gelassen?

Wie im Beispiel

x = -1 für ${\displaystyle \sqrt{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}}$

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