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Definitionsmenge von ln(x+(x^2-1)^(1/2) bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Definitionsbereich, Fallunterscheidung, Funktion

THE-E aktiv_icon

16:19 Uhr, 27.08.2016

Hallo allerseits,

ich versuche schon seit einiger Zeit die Definitionsmenge in

ℝ

von folgender Funktion zu bestimmen:

f (x) = l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})

Grundsätzlich weiß ich das

l n (x)

nur für

x > 0

definiert ist.

Darum wollte ich

x + \sqrt{x^{2} + 1} > 0

finden.

Mir wurde gesagt, dass ich eine Fallunterscheidung machen muss. Ich bin mir jedoch nicht wirklich sicher wie ich herangehen sollte.

Gruß

THE-E

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion

gaubes aktiv_icon

16:21 Uhr, 27.08.2016

für welche werte ist denn die Wurzel definiert?

THE-E aktiv_icon

16:22 Uhr, 27.08.2016

Für größer gleich

0

gaubes aktiv_icon

16:25 Uhr, 27.08.2016

also für welche werte von

x

wenn du

\sqrt{x^{2} + 1}

hast ?

THE-E aktiv_icon

16:28 Uhr, 27.08.2016

Durch das quadrieren doch für alle, oder?

Respon

16:48 Uhr, 27.08.2016

Du meinst doch:

f (x) = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

THE-E aktiv_icon

17:02 Uhr, 27.08.2016

@Respon: Wen meinst du?

Respon

17:04 Uhr, 27.08.2016

In deiner Angabe steht

\sqrt{x^{2} - 1}

Respon

17:20 Uhr, 27.08.2016

Und ? Alles klar ?

THE-E aktiv_icon

18:40 Uhr, 27.08.2016

Also Entweder muss

x \geq 1

oder

x \leq - 1

sein damit die Wurzel einen positiven Wert oder

0

ergibt. Aber damit der Term

x - \sqrt{x - 1}

positiv bleibt, kann

x

nur größer als

1

sein.

Aber wie formuliere ich das mathematisch?

Wo muss ich die Fallunterscheidung machen bzw. auf welcher Ebene?

Danke schonmal für eure Hilfe :-)

Respon

18:42 Uhr, 27.08.2016

Das Argument des Logarithmus ist laut Angabe

x + \sqrt{x^{2} - 1}

THE-E aktiv_icon

18:53 Uhr, 27.08.2016

Genau, also soll ich eine Fallunterscheidung für

x \geq 1

und

x \leq - 1

x - \sqrt{x - 1}

machen?

Ist das möglich, dass mir das jemand formal hinschreibt, wie man so eine Fallunterscheidung macht?

Respon

18:56 Uhr, 27.08.2016

Wie kommst du auf

x - \sqrt{x - 1}

THE-E aktiv_icon

19:05 Uhr, 27.08.2016

Das ist doch das Argument von ln(x) und das darf doch nicht kleiner gleich 0 werden, aber gleichzeitig darf das Argument in der Wurzel nicht kleiner 0 werden.

Respon

19:07 Uhr, 27.08.2016

Das Argument des Logarithmus ist in deiner Funktion

x + \sqrt{x^{2} - 1}

THE-E aktiv_icon

19:37 Uhr, 27.08.2016

Genau, aber ich habe gedacht man muss die Wurzel berücksichtigen, die ja keine Werte kleiner als den Betragswert

1

haben darf, und darum wird bei der Ungleichung:

x + \sqrt{x^{2} - 1} > 0

nur zwischen x größer 1 oder x kleiner -1 untersucht. Oder habe ich da einen Denkfehler?

Das nur x größer 1 zu einer wahren Aussage führt muss doch über die Fallunterscheidung gezeigt werden, oder?

Respon

19:46 Uhr, 27.08.2016

x \geq 1

Da eine Quadratwurzel als nichtnegativ definiert ist, ist das Argument des Logarithmus auch

\geq 1,

die Funktion daher definiert.

x \leq - 1

Mehrere Möglichkeiten,

z . B

\sqrt{x^{2} - 1} < \sqrt{x^{2}} = | x |

\sqrt{x^{2} - 1} < | x |

| + x

x + \sqrt{x^{2} - 1} < x + | x |

Für negative x-Werte ergibt die rechte Seite der Ungleichung immer 0

\Rightarrow

für

x \leq - 1

ist

x + \sqrt{x^{2} - 1} < 0,

also ist die Funktion nicht definiert.

\Rightarrow

D = [1; \infty)

siehe auch den Graph

THE-E aktiv_icon

13:14 Uhr, 28.08.2016

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

Muss ich aber nicht noch den Fall

x \geq 1

untersuchen und zeigen das

x + \sqrt{x - 1} > 0

ist?

Weil ich würde mit der vorherigen Ungleichung beim einsetzen ja höchsten sagen:

x + \sqrt{x - 1} < 2 x

ist, oder?

Reicht es wenn man schreibt:

x + \sqrt{x^{2} - 1} > \sqrt{x^{2} - 1} \geq 0

@Respon: Übrigens würde mich es echt interessieren, womit du den Graphen gezeichnet hast :-)

Roman-22

13:30 Uhr, 28.08.2016

>

Muss ich aber nicht noch den Fall x≥1 untersuchen und zeigen das

x + x - 1 > 0

ist?
Das steht doch am Beginn von Respons Antwort.

Du gehst in all deinen Postings aber extrem nachlässig und schlampig mit deiner Schreibweise um. Mal schreibst du

+

wo eigentlich ein - stehen sollte, dann schreibst du wieder mehrmals

x - 1

wo es aber

x^{2} - 1

heißen sollte.
Und wenn man dich darauf aufmerksam macht, ignorierst du diese Hinweise einfach, so als wäre das doch alles egal. Oder du antwortest mit "Genau" und wiederholst den gleichen Fehler ein paar Zeichen später gleich wieder.
Eine solche Herangehensweise verzeiht die Mathematik nicht und das rächt sich.

Du wolltest doch eine formal saubere Ausformulierung anstreben. Da ist der erste Schritt, eine sorgfältigere Herangehensweise.

THE-E aktiv_icon

14:20 Uhr, 28.08.2016

Danke für die konstruktive Kritik(nicht ironisch!). Ganz ehrlich, mir sind die ganzen Fehler überhaupt nicht aufgefallen. Dass ich

x

statt

x^{2}

geschrieben habe, fällt mir erst nach deinem Hinweis auf. Und das sind ja wirklich einige Fehler. Sorry dafür!
Und auf Respons Antwort, habe ich reagiert, nur ist mir dort auch nicht das

x

statt

x^{2}

aufgefallen. Handschriftlich mache ich nicht sooo viele Fehler. Mit einem Editor und Latex ist das nicht ganz so deutlich zu erkennen.

Aber ich werde auf jeden Fall versuchen aufmerksamer zu sein.

Die Begründung von Respon erklärt natürlich wieso das Argument von ln größer 0 ist bzw. größer gleich 1 und damit ist meine Antwort darauf überflüssig

Gruß

THE-E

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