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Degressionsfaktor bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Degressionsfaktor, iteration

Sina94 aktiv_icon

02:38 Uhr, 27.03.2018

Hallo liebe Communtity,

ich besuche momentan einen Mathekurs in der Uni und darf folgende Fragestellung beantworten:

Ich soll einen Degressionsfaktor auf Basis der unten genannten Zahlungen ermitteln.
Lösung soll angeblich

0,773278

sein...

Jahr:

1 : 35.134

2 :

3 :

4 :

5 :

> 5 : 24.572

Summe:

136.691

(inkl.

76.985)

Ich soll nun den Gesamtbertag von

76.985

der sich von Jahr

2 - 5

ergibt auf die Jahre

2 - 5

anhand eines Degressionsfaktors aufteilen. Leider habe ich bislang noch keine Lösung für die Berechnung des Faktors gefunden. Der Professor hat mir mitgeteilt, dass ich dies nur anhand der Solve Funktion in Excel lösen kann und hat mir auch eine Formel gegeben die ich im Anhang angehangen habe.

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

Gruß

Sina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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06:57 Uhr, 27.03.2018

Um welchen Sachverhalt geht es? Ich verstehe die Aufgabe so nicht.
Um welche Zahlungen geht es? Was meint Zahlungen hier?
Was bedeutet die Summenformel bzw. wofür stehen die Variablen?

anonymous

07:14 Uhr, 27.03.2018

Hallo
Deine Beschreibung ist nicht sehr klar.
Nach ein wenig Rumprobieren konnte ich aber erahnen:

Du hast irgendwelche jährlichen Zahlungen, die sich in den ersten 5 Jahren gemäß einer geometrischen Reihe verhalten:
Zahlung im Jahr

i =

Betrag_0

\cdot

df^i

d . h

. die Zahlung

>

im Jahr 1 beträgt: Betrag_0*df

>

im Jahr 2 beträgt: Betrag_0*df^2

>

im Jahr 3 beträgt: Betrag_0*df^3

>

im Jahr 4 beträgt: Betrag_0*df^4

>

im Jahr 5 beträgt: Betrag_0*df^5

Darüber hinaus weißt du:
Die Zahlung im Jahr 1 beträgt

35,134

.
Die Zahlungen in den Folge-Jahren

t > 5

betragen zusammengenommen:

24,572

.

Und du sollst über all die Jahre eine Gesamtsumme von

136,691

erzielen.

Also:

35,134 +

Betrag_0*df^2

+

Betrag_0*df^3

+

Betrag_0*df^4

+

Betrag_0*df^5

+ 24,572 = 136,691

Und diese Gleichung musst du nun nach deinem sogenannten "Degressionsfaktor" 'df' 'solven'.

anonymous

07:22 Uhr, 27.03.2018

Ach ja, und wie gesagt, du kennst noch den Zahlbetrag im ersten Jahr.
Also hast du noch eine zweite Gleichung:

35,134 =

Betrag_0*df

Sina94 aktiv_icon

09:17 Uhr, 27.03.2018

Erstmal vielen dank für eure Antworten :-)

Kreadoor, du hast meine Frage aufjdenfall verstanden. Jetzt stellt sich mir nur noch die Frage wie ich diese in die Solver-Formel eingebe

- . -

aber da kannst du mir wahrscheinlich nicht wirklich weiterhelfen oder?

Unten nochmal der neue Aufbau mit den Daten.

Ich soll einen Degressionsfaktor auf Basis der unten genannten Zahlungen ermitteln.
Lösung soll angeblich

0,773278

sein...

Jahr:

1 : 35.134

2 :

3 :

4 :

5 :

> 5 : 24.572

Summe:

136.691

(inkl.

76.985

von

J 2 - 5)

Ich soll nun den Gesamtbertag von

76.985

der sich von Jahr 2−5 ergibt auf die Jahre 2−5 anhand eines Degressionsfaktors aufteilen.

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09:31 Uhr, 27.03.2018

Das Ergebnis kommt aber nicht raus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*y%3D35134+and+35134%2Bx*y%5E2%2Bx*y%5E3%2Bx*y%5E4%2Bx*y%5E5%2B24572%3D136691+solve+x,y

anonymous

12:57 Uhr, 27.03.2018

Hallo
Keine Sorge, das kommt schon raus.

Leider wiederholst du nur das, was wir doch schon wussten.
Eigentlich solltest du doch erkennen:
Es handelt sich um ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen:

35,134 +

Betrag_0*df^2

+

Betrag_0*df^3

+

Betrag_0*df^4

+

Betrag_0*df^5

+ 24,572 = 136,691

35,134 =

Betrag_0*df

Ich helfe dir mal:
Es wird sich empfehlen, die zweite Gleichung nach 'Betrag_0' umzustellen und in die erste Gleichung einzusetzen:

35,134 =

Betrag_0*df

\to

Betrag_0 = 35,134/df

einsetzen:

35,134 +

(35,134/df)*df^2

+

(35,134/df)*df^3

+

(35,134/df)*df^4

+

(35,134/df)*df^5

+ 24,572 = 136,691

35,134*df

+

35,134*df^2

+

35,134*df^3

+

35,134*df^4

= 76,985

35,134*(df

+

df^2

+

df^3

+

df^4)

= 76,985

+

df^2

+

df^3

+

df^4

= 2.19118

Wie du siehst, das war eigentlich nicht schwer.
Jetzt musst du nur noch die Unbekannte df errechnen.
Dafür gibt es übrigens mehrere Lösungsmöglichkeiten.

>

Du kannst tatsächlich numerische Näherungsverfahren bemühen, wie sie vermutlich hinter deiner angesprochenen 'solver-' Funktion hängt.

>

Du kannst Cardano-Gleichungen nutzen.

>

Du kannst dich mal über Summen von geometrischen Reihen schlau machen.

Wenn du tatsächlich numerische Näherungsverfahen anwenden willst, dann:
Na ja, ich kann nicht wissen, welches Programm/System/Taschenrechner du verwenden willst. Folglich kann ich dir auch nicht unmittelbar helfen, deren solver-Funktionen zu nutzen. Da musst du schon mal einen Blick in die Betriebsanleitung werfen.
Ich könnte dir

z . B

. mit diesem ungenannten gängigen Tabellenkalkulationsprogramm von einem relativ weit verbreiteten (Fenster-) Betriebssystem weiterhelfen.

Und numerische Näherungsverfahren gibt es viele. Da gibt es sicher nicht nur die in deinem Taschenrechner. Da gibt es

u . a . :

>

regula falsi

>

Newton

>

Selbsteinsetzungsverfahren

> . .

>

und unzählige mehr.

Sina94 aktiv_icon

14:28 Uhr, 27.03.2018

Vielen Dank.
Genau in diesem Tabellenkalkulationssystem des Fenster Entwicklers soll ich die Rechnung mit der solver Funktion nachbauen. Habe mich mit dem System vorher nur ganz minimal beschäftigt

anonymous

00:00 Uhr, 28.03.2018

Nun, wenn du das gleiche Tabellenkalkulationsprogramm nutzt, dann vielleicht so (siehe Bild):

Ich habe mal in die Zelle

' B 2'

einen Schätzwert für df eingetragen.
Der Wert

0.9

ist einfach mal eine willkürliche Schätzung.
Du kannst gerne beliebigen Wert deiner Wahl einsetzen, sofern der noch einigermaßen Sinn macht.

In die Zelle

' B 3'

habe ich dann die Funktion eingetragen, wie um

12 : 57 h

beschrieben:
f(df) = df

+

df^2

+

df^3

+

df^4 = df

+

df*df

+

df*df*df

+

df*df*df*df

= 2.19118

Dem Tabellenkalkulationsprogramm musst du natürlich sagen, wo der Wert von df steht.
Wie gesagt, der Wert von df steht in der Zelle

' B 2'

.
Folglich:
f(df)

= B 2 + B 2 \cdot B 2 + B 2 \cdot B 2 \cdot B 2 + B 2 \cdot B 2 \cdot B 2 \cdot B 2

Ich habe dir mal den Syntax daneben geschrieben, der in der Zelle

' B 3'

steht, um aus dem Wert in

' B 2'

den Funktionswert in

' B 3'

zu errechnen.

Das Tabellenkalkulationsprogramm wird dir also immer wenn du einen Wert für df in die Zelle

' B 2'

einträgst, in der Zelle

' B 3'

den zugehörigen Funktionswert f(df) errechnen.
Wenn du

z . B

. einträgst

>

df=

0.6 \to

dann wird das Programm errechnen:

\to

f(df)=

1.3056

>

df=

0.7 \to

dann wird das Programm errechnen:

\to

f(df)=

1.7731

>

df=

0.8 \to

dann wird das Programm errechnen:

\to

f(df)=

2.3616

>

df=

0.9 \to

dann wird das Programm errechnen:

\to

f(df)=

3.0951

Ja, und wir wollen doch, dass das Programm den Funktionswert f(df)=

2.19118233

errechnet.
Jetzt können wir natürlich lange rumprobieren, aber vermutlich wird es uns durch Probieren nicht befriedigend gelingen.
Und da kann uns die 'Solver-Funktion' helfen.
Vereinfacht gesagt wird das Programm in der 'Solver-Funktion' so lange probieren, den Wert df zu verändern, bis der gewünschte Funktionswert herauskommt.

Du findest die 'Solver-Funktion' unter:

>

Daten

>

Was-wäre-wenn-Analyse

>

Zielwertsuche
Jetzt erscheint das Fenster wie in meinem Bild.
Hier musst du eingeben:
# unter Zielzelle - na ja eben die Zelle, die einen Zielwert ausweisen soll, das ist eben die Zelle

' B 3',

in der eben der Funktions-Zielwert errechnet werden soll.
# unter Zielwert - na ja eben den Zielwert, sprich den Funktionswert

2.19118

der eben rauskommen soll.
# unter 'veränderbare Zelle' - na ja eben die Zelle, die verändert werden soll, um eben dieses Ziel zu erreichen.

Wenn du jetzt auf 'OK' drückst, dann wird das Tabellenkalkulationsprogramm bzw. dessen Solver-Funktion eben den Wert in

' B 2'

für df so lange verändern, bis eben (mit numerisch hinreichender Genauigkeit) in der Zielzelle

' B 3'

der Zielwert

2.19118

errechnet wird.
Bei mir war das:

f (0.7733811) = 2.1918184277

D . h

. für df=0.7733811 wird ein Funktionswert

2.1918184277

errechnet.
Na ja, nicht perfekt, aber doch schon ziemlich gut.

Mit anderen Methoden konnte ich einen genaueren Wert errechnen:

f (0.773278359) = 2.1911823305

Und mit diesem Wert
df

= 0.773278

solltest du dann natürlich noch die Kontrolle machen.

Sina94 aktiv_icon

01:49 Uhr, 30.03.2018

Vielen Dank kreadoor :-)

Das hat mir wirklich schon sehr geholfen. :-)

Magst du mir eventuell noch verraten, mit welcher Methode du den genaueren Wert berechnet hast(war das auch Excel)? Vllt. sogar auch wie? :-)

Verspreche dir auch, danach nicht weiter zu bohren.

Grüße

Sina

anonymous

08:54 Uhr, 30.03.2018

1 .)

Eine andere numerische Methode ist das 'Newton'-Verfahren.
Damit kann man die Nullstelle einer Funktion errechnen.
Dazu musste ich die Funktion ein klein wenig umbauen:
df

+

df^2

+

df^3

+

df^4

= 2.1911823

+

df^2

+

df^3

+

df^4

- 2.1911823 = 0

Nennen wir die Funktion mal

' g' :

g(df) = df

+

df^2

+

df^3

+

df^4

- 2.1911823

Und wir suchen also die Nullstelle von g(df)
Wir brauchen die Ableitung:
g'(df)

= 1 +

2*df

+

3*df^2

+

4*df^3

Die Näherungsformel nach Newton:

x_{i + 1} = x_{i} - \frac{g (x_{i})}{g' (x_{i})}

Soll sagen: Wenn wir rechts einen beliebigen Wert

x_{i}

einsetzen, und die Formel ausrechnen, dann errechnet sich links ein neuer Wert

x_{i + 1},

der näher an der Nullstelle liegt, als die Annahme

x_{i}

.
Lass dich nicht irritieren, dass ich einmal von

' x',

einmal von 'df' spreche. Das ist nur ein anderer Bezeichner für in diesem Falle die gleiche Größe. Die Newton-Formel wird halt meist allgemein mit der Variablen

' x'

genutzt. Und unsere Variable heißt halt nun mal 'df'. Das ist nur ein anderer Spitzname für das gleiche Kind.

Beispiel:
Ich habe angenommen: (df_1

=) x_{1} = 0.9

siehe Bild

...

\to

PS: Das kann man mit einem Tabellenkalkulationsprogramm machen, aber auch mit dem Taschenrechner oder mit jedem Mittel, das du willst. Sicher auch mit Papier und Bleistift.

2 .)

Polynomfunktionen 4.Grades kann man auch mit der Cardano-Gleichung lösen.
Bitte, erspar mir, die hier erklären zu müssen.
Wer will, kann ja schauen, wie tüchtige Personen unter
de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
und
de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung
bemüht waren, sie zu erklären.

Sina94 aktiv_icon

12:13 Uhr, 30.03.2018

Vielen lieben Dank für deine Geduld kreadoor :-)
Hast mir damit wirklich einen riesen Gefallen getan. Nun kann ich dieses Thema endlich abhacken und muss mir keine Kommentare von meinem Professor anhören.

Nochmals vielen lieben dank.

=)

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