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Dehnungsbeschränkte Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränkt, Beweis, Dehnung, dehnungsbeschränkt

 
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saty24

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13:02 Uhr, 12.05.2019

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Es seien a,b ∈ ℝ mit a<b und f:[a,b] → ℝ sei eine dehnungsbeschränkte Funktion mit Bild (f) ⊆ [a,b]. Zeigen Sie, dass es ein z ∈ [a,b] mit f(z)=z gibt.

Wie kann man das beweisen ? Ich weiß, dass eine dehnungsbeschränkte Funktion folgendes erfüllt:
Seien x und y ∈ [a,b], dann: |f(x)-f(y)|≤c⋅|x-y| wobei c eine Konstante ∈ ℝ ist. Außerdem wenn f(z)=z ist, dann soll f(z)-z=0 sein aber damit komme ich nicht viel weiter. Ich weiß zumindest, dass z ∈ [a,b].

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:27 Uhr, 13.05.2019

Antworten
Hallo,

offenbar ist f Lipschitz-steitig, insbesondere also stetig.
Betrachte die (dann ebenfalls stetige) Funktion g:x↦f(x)-x und zeige, dass sie eine Nullstelle haben muss.

Mfg Michael