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Delta Epsilon Kriterium (Stetigkeit beweisen)

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: delta, Epsilon, Kriterium, Stetigkeit

cybersepp aktiv_icon

20:27 Uhr, 04.05.2011

Hallo @ all,
kann mir jemand den Einstieg in die Welt der e-d-Kriterien geben?
Wie macht man das mit Delta-Epsilon?

Ich soll mit Hilfe des Delta-Epsilon-Kriteriums, zeigen, dass folgende Funktion im Punkt

a = 1

stetig sind.

f : R \to R, f (x) = x^{2}

dann beginne ich so:

| x - x_{0} | < δ

(Das

δ

muss ich ja später durch

ε

und x_0ausdrücken)

| x^{2} - x_{0}^{2} | = | x + x_{0} | | x - x_{0} | < ε

Mit der letzten Ungleichung rechne ich weiter:

| x - x_{0} | < \frac{ε}{| x + x_{0} |}

Durch google bin ich auf den Tipp gekommen mit einer "Dreiecksungleichung" weiter zu rechnen. Aber das sagt mir gar nichts.
Nun hackt es aber an der "Dreiecksungleichung", oder gibt es einen anderen Weg hier weiter zu machen?

LG und vielen Dank schon mal!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

lepton

22:55 Uhr, 04.05.2011

Du brauchst nicht wegen einer so trivialen Fkt. wie die Normalparabel keine Dreiecksungleichung.
Man muss sich vorher im klaren sein, wie denn die Definiton der Stetigkeit lautet:
Eine Fkt.

f : I D \to I R

heisst stetig an der Stelle

x_{0} \in I D,

wenn:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x \in I D : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε

Jetzt sei

f : I R \to I R, x \mapsto x^{2} \land x_{0} = 1

\Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | = | x - x_{0} | \cdot | x + x_{0} | < δ | x + x_{0} | < δ (\frac{x_{0}}{2} + x_{0}) = \frac{3}{2} δ x_{0}

Jetzt haben wir durch die Abschätzung

0 < δ < \frac{x_{0}}{2}

eine Abhängigkeit

δ

von

x_{0}

und

ε .

Sei dann nun

\frac{3}{2} δ x_{0} < ε \Leftrightarrow δ < \frac{2 ε}{3 x_{0}},

dann können wir für

δ

folgendes wählen,

δ : = min {\frac{x_{0}}{2}, \frac{2 ε}{3 x_{0}}} .

Das bedeutet zusammengefasst, dass nach der Definition

f

im Pkt.

x_{0} = 1

stetig sit, sprich
Sei also

ε > 0 \land δ : = min {\frac{x_{0}}{2}, \frac{2 ε}{3 x_{0}}}

. Durch die entsprechende Abschätzung folgt:

| f (x) - f (x_{0}) | < δ (\frac{x_{0}}{2} + x_{0}) < \frac{3}{2} δ x_{0} \leq ε

cybersepp aktiv_icon

23:18 Uhr, 04.05.2011

Wie kommst Du denn auf:

\to ... . .

< δ I x + x_{0} I < δ ({\frac{x_{0}}{2}} + x_{0}) = \frac{3}{2} δ x_{0}

Leider blick ich das Thema irgendwie noch immer nicht, obwohl ich jetzt schon einiges darüber angeschaut hab.

lepton

00:17 Uhr, 05.05.2011

Wie ich darauf

. .

< δ | x + x_{0} | < δ (\frac{x_{0}}{2} + x_{0}) = \frac{3}{2} δ x_{0}

komme?
Ich habe

δ

einfach durch

(0, \frac{x_{0}}{2})

abgeschätz

\Rightarrow

kleine Umgebung von

x_{0}

und dann eine Termzusammenfassung gemacht.
Stetigkeit einer Fkt. an der Stelle

x_{0}

bedeutet doch, dass eine Umgebung von

x_{0}

auf eine Umgebung von

f (x_{0})

abgebildet wird, so dass gilt

f (U_{δ} (x_{0})) \subset U_{ε} f (x_{0})

. Das bedeutet ja nun, dass jede Zahl aus

U_{δ} (x_{0})

auf

f (U_{δ} (x_{0}))

abgebildet wird.
Des Weiteren bedeutet das acuh, dass wenn man je näher in der Umgebung von

x_{0}

liegt, so liegt auch der entsprechende Funktionswert bei

x_{0} .

Du bildest also eine kleine

δ -

Umgebung aus dem Definitonsbereich auf eine kleine

ε -

Umgebung aus dem Wertebereich ab.
Am besten schaue dir mal die Definition genauer an und versuche es bildlich klar zu machen.

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