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Deltafunktion in krummlinigen Koordinaten

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Dirac-Funktion, Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten

Lexiii92 aktiv_icon

08:39 Uhr, 04.06.2014

Hey guten Morgen beisammen.

Zeigen Sie, dass die Dirac-Funktion in Zylinderkoordinaten

(ρ, Φ, z)

und in Kugelkoordinaten

(ρ, Φ, θ)

gegeben ist durch

δ (r - r_{0}) = ρ^{- 1} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (z - z_{0})

bzw.

δ (r - r_{0}) = {(ρ^{2} sin θ)}^{- 1} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (θ - θ_{0})

Überprüfen Sie jeweils die definierenden Eigenschaften der Delta-Funktion.

Also die Stichworte der Eigenschaften der Deltadistribution sind ja

1)

Linearität

2)

Translation

3)

Skalierung

4)

Singularität

Habe ich was vergessen? Ich habe jetzt erhebliche Probleme erstens genau festzustellen bzw. die definierenden Eigenschaften der Delta-Funktion aufzustellen und zu prüfen. Ich glaube gerade, dass ich dies gar nicht zeigen muss, oder doch? Wie ihr seht habe ich auch Textverständnisprobleme:(

LG Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:23 Uhr, 04.06.2014

Ich glaube, dass nur das gezeigt werden muss:

\int_{R^{3}} δ (r) f (r) d V = f (0)

für eine beliebige (stetige) Funktion

f

Lexiii92 aktiv_icon

09:33 Uhr, 04.06.2014

Hm jeweils für Zylinder- und Kugelkoordinaten?

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09:56 Uhr, 04.06.2014

Ja, ich würde die Formel

\int_{R^{3}} δ (r - r_{0}) f (r) d V = f (r_{0})

in Zylinder- und Kugelkoordinaten für beliebige

f

beweisen,
mit diesen konkreren Ausdrücken für

δ

Lexiii92 aktiv_icon

10:19 Uhr, 04.06.2014

Hm konkreten Ausdrücken für

δ

? Sprich:

δ (r - r_{0}) = ρ^{- 1} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (z - z_{0})

bzw.

δ (r - r_{0}) = {(ρ^{2} sin θ)}^{- 1} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (θ - θ_{0})

Einsetzen in:

\int_{ℝ^{3}} δ (r - r_{0}) f (r) d V = f (r_{0})

Aber was dann?

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10:30 Uhr, 04.06.2014

Für zylindrische:

\int_{R^{3}} δ (r - r_{0}) f (r) d V = \int_{R^{3}} ρ^{- 1} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (z - z_{0}) f (ρ, Φ, z)

ρ

d ρ d Φ d z =

= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (z - z_{0}) f (ρ, Φ, z) d ρ d Φ d z = f (ρ_{0}, Φ_{0}, z_{0}) = f (r_{0})

.

Hier wurde

d V = ρ

d ρ d Φ d z

benutzt.

Für Kugelkoordinaten ähnlich.

Lexiii92 aktiv_icon

11:53 Uhr, 04.06.2014

Und das war's? Ja für Kugelkoordinaten ist es dann analog mit anderen Grenzen und das Volumenelement spuckt noch ein

r^{2} sin θ

mit rein?

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11:59 Uhr, 04.06.2014

Ja, die Aufgabe ist relativ einfach.

Lexiii92 aktiv_icon

16:23 Uhr, 04.06.2014

Okay bevor ich zu der Kugelkoordinaten-Variante übergehe, wieso sind die Grenzen der z-Integration von

- \infty

bis

+ \infty

? Und die letzten beiden Schritte sind mir noch schwammrig.

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16:26 Uhr, 04.06.2014

So sind die Zylinderkoordinaten definiert.

z

ist einfach aus kartesischen "übernommen", daher kann beliebige Werte annehmen.
Aber es ist eigentlich nicht wichtig.

Lexiii92 aktiv_icon

17:08 Uhr, 04.06.2014

Okay, könntest du mir vllt noch bitte erläutern was genau hier passiert:

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (z - z_{0}) f (ρ, Φ, z) d ρ d Φ d z = ...

Lexiii92 aktiv_icon

07:28 Uhr, 05.06.2014

Kugelkoordinaten:

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} δ (ρ - ρ_{0}) δ (Φ - Φ_{0}) δ (θ - θ_{0}) f (ρ, Φ, θ) ρ^{2} sin θ d ρ d Φ d θ

und dann?

PS: Die letzte Unklarheit besteht immer noch (

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07:49 Uhr, 05.06.2014

Bei Kugelkoordinaten hast Du

\frac{1}{ρ^{2} \sin θ}

vergessen.

Auch bei Kugelkoordinaten bleibt am Ende ein Integral

\int \int \int δ (r - r_{0}) δ (φ - φ_{0}) δ (θ - θ_{0}) f (r, φ, θ) d r d φ d θ

,
ohne andere Faktoren.

Wie ich so ein Integral auswerte, ist doch trivial:

\int \int \int δ (r - r_{0}) δ (φ - φ_{0}) δ (θ - θ_{0}) d r d φ d θ = \int δ (r - r_{0}) [\int δ (φ - φ_{0}) [\int δ (θ - θ_{0}) f (r, φ, θ) d θ] d φ] d r =

= \int δ (r - r_{0}) [\int δ (φ - φ_{0}) f (r, φ, θ_{0}) d φ] d r = \int δ (r - r_{0}) f (r, φ_{0}, θ_{0}) d r = f (r_{0}, φ_{0}, θ_{0})

, wobei

ich nur die Definition von eindimensionalen

δ

's für drei Variablen

r, φ, θ

nach und nach benutzt habe.

Lexiii92 aktiv_icon

07:54 Uhr, 05.06.2014

Und die Definition ist einfach,

δ (ρ - ρ_{0}) = δ (Φ - Φ_{0}) = δ (z - z_{0}) = 1

bzw.

δ (r - r_{0}) = δ (Φ - Φ_{0}) = δ (z - z_{0}) = 1

ist?

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08:00 Uhr, 05.06.2014

Nein, die Definition ist

\int δ (r - r_{0}) f (r) d r = f (r_{0})

für alle

f

usw. für andere Variablen. Habe auch schon geschrieben oben.

Lexiii92 aktiv_icon

08:12 Uhr, 05.06.2014

Hm. Aber dann verschwindet jeweils

ρ_{0}

und

Φ_{0}

und

z_{0}

bzw.

r_{0}

und

Φ_{0}

und

θ_{0}

und dann taucht es wieder auf. Mein Problem ist, dass wenn du das erste Integral auswertest das

ρ_{0}

quasi verschwindet und dann erst zum Schluss auftaucht, nach der Auswertung des letzten Integrals. Wenn du aber doch das Integral auswertest, dann sollte es doch direkt auftauchen, oder nicht?

DrBoogie aktiv_icon

08:16 Uhr, 05.06.2014

Sorry, aber verschwinden und auftauchen - das ist keine Mathematik.
Versuche selber zu verstehen, warum das so geht.

Lexiii92 aktiv_icon

08:28 Uhr, 05.06.2014

Ja sorry Mathematik und verstehen ist für mich nicht so das Motto. Eher machen und zum richtigen Ergebnis kommen.

Ich meine wenn ein Integral einen konkreten Wert annimmt sprich:

r_{0}

dann sollte es doch auch im nächsten Schritt zusehen sein, und nicht erst zum Schluss.

Für mich ist's einfach unklar.

DrBoogie aktiv_icon

09:50 Uhr, 05.06.2014

Ich verstehe leider überhaupt nicht, was Du meinst.
Ich berechne Integrale ein nach dem anderen, von "innen" nach "draußen".
Wo ist das Problem? Kennst Du Dich mit den Mehrfachintegralen nicht aus? Dann informiere Dich. :-)

Lexiii92 aktiv_icon

11:56 Uhr, 05.06.2014

Sorry ich nehme alles zur zurück ich habe die ausgewerteten Integrale übersehen, sprich es wurde ja das

r_{0} φ_{0}

und

θ_{0}

pö a pö eingebaut. War anscheinend noch im Schlafmodus. Eine letzte Frage habe ich noch was sind die genauen Grenzen jetzt? Ich weiss, dass sie "quasi" irrelevant sind aber dennoch.

Danke für deine Geduld und deine Hilfe :-)

DrBoogie aktiv_icon

12:02 Uhr, 05.06.2014

Die Grenzen sind wie oben. Da Integrale über den ganzen Raum gehen, sind die Grenzen "maximal", also so, dass alle möglichen Werte berücksichtigt sind:
bei Kugelkoordinaten sind es

0

bis

\infty

für

r

0

bis

2 π

für

φ

und

0

bis

π

für

θ

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