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Deltoid berechnen mit Winkelfunktionen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: deltoid, Winkelfunktion

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12:52 Uhr, 18.06.2012

Hallo liebe Leute,

Ich muss ein Deltoid mittels Winkelfunktionen berechnen und erhoffe mir, Hilfe zu erhalten.

Die Angaben lauten:

b:56cm
e:79cm
Gamma":97,18°

Das erste, was ich getan habe, war,

\frac{f}{2}

auszurechnen. Ich habe gerechnet:

sin gamma/2*b=41,9cm
f=f/2*2=83,9cm

Damit habe ich

f

und

\frac{f}{2}

erhalten. Danach habe ich den Winkel

δ

versucht auszurechnen:

\frac{cos δ}{2} = \frac{f}{2} / b

delta/2=41,4°
delta=82,8°

Und

β

ist gleich

δ

.

Ist das soweit korrekt ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:04 Uhr, 18.06.2012

Nun habe ich die Seite a berechnet:

a = \frac{f}{2} / \frac{cos δ}{2}

=55,8cm

A = e \cdot \frac{f}{2}

=3314cm²

Das Beispiel wäre damit gelöst. Stimmt es denn auch ?

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13:07 Uhr, 18.06.2012

Zunächst eine grundsätzliche Sache:
Ergebnisse musst Du richtig runden, nicht einfach abschneiden.
Die Berechnung von

\frac{f}{2}

ist grundsätzlich richtig, ergibt aber

41,999756

41,9

ergibt dann Punktabzug, richtig gerundet ergibt das

42,0!

Der Rest stimmt nicht mehr, da Du davon ausgehst, dass

f

die Winkel

β

oder

δ

halbiert. Nur

e

halbiert

α

und

γ

.

Noch eine Frage: Du bist davon ausgegangen, dass

e

die Symmetrieachse ist. Ist das angegeben oder macht man das immer so?

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13:12 Uhr, 18.06.2012

Ja,

e

ist die längere und

f

die kürzere. Das macht man immer so.

Ich habe gedacht, dass die Seite

f

die Winkel auch halbiert. Wieso tut sie das nicht ? Optisch sieht es auf der Skizze so aus, als würden alle Winkel halbiert.. Wenn dem jetzt nicht so ist, hab ich ein problem weiter zu rechnen. Hast du einen Tip wie ich vorgehen könnte ?

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13:24 Uhr, 18.06.2012

Mit länger oder kürzer hat das nichts zu tun. Im Drachenviereck (Deltoid) ist nur eine Diagonale Symmetrieachse (Spiegelachse). Wenn es doch beide sind, dann ist es sogar eine Raute (Rhombus).
Also sagen wir,

e

ist immer die Spiegelachse. Aus Deiner Skizze sollte eigentlich klar zu sehen sein, dass

f

keine Spiegelachse ist (und damit auch die Winkel nicht halbiert).

Ich würde den Winkel

β

in zwei Teile aufteilen (den einen Teil hast Du bereits berechnet, ebenso

e

in zwei Teile teilen und die Teile berechnen. Dann kannst Du oberhalb von

f

alles ausrechnen.

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13:27 Uhr, 18.06.2012

Moment, das wird mir gerade zu kompliziert was du sagst.

β

und

δ

sind gleich. Das steht im Skript. Wenn sie gleich groß sind, dann werden sie doch auch halbiert können zwei Winkel gleich groß sein und von einer Linie durchtrennt werden, ohne, dass beide halbiert werden ?

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13:28 Uhr, 18.06.2012

Moment, ich glaube, ich komme gerade drauf was du meinst..

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13:33 Uhr, 18.06.2012

Ich berechne jetzt

p . p

ist der untere Teil der Länge

e

\frac{cos γ}{2} = \frac{p}{b}

\frac{cos γ}{2} \cdot b = p

Dann habe ich

p

.

Um herauszufinden was

q

ist, rechne ich

e - p

. Dann habe ich

q

. Damit kann ich im oberen Dreieck rechnen, weil ich auch

\frac{f}{2}

habe. Damit kann ich dann den Winkel

α

ausrechnen. Richtig ?

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13:37 Uhr, 18.06.2012

Richtig!
Dir ist hoffentlich klar, dass Du

cos (\frac{γ}{2})

schreiben musst (um

\frac{γ}{2}

noch eine Klammer setzen)!

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13:42 Uhr, 18.06.2012

Ok, also:

p : 37,04

q : 41,96

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13:44 Uhr, 18.06.2012

Jetzt rechne ich

\frac{tan α}{2} = \frac{f}{2} / q

Und das Ergebnis multipliziere ich mit 2 und erhalte damit den Winkel

α

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13:44 Uhr, 18.06.2012

ja, nur weiter!

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13:47 Uhr, 18.06.2012

Hab mich jetzt mehrere male verrechnet.

α

hat 89,9°.

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13:50 Uhr, 18.06.2012

Nein, mein Ergebnis ist alpha=90,06° .

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13:53 Uhr, 18.06.2012

Jetzt rechne ich die Seite a aus:

\frac{cos α}{2} = \frac{q}{a}

a = \frac{q}{\frac{cos α}{2}}

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13:56 Uhr, 18.06.2012

a = 59,3

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13:56 Uhr, 18.06.2012

Nochmal: Würdest Du bitte

tan (\frac{α}{2})

schreiben?
Deshalb hast Du auch das falsche

α

raus!!!

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14:01 Uhr, 18.06.2012

Wir haben keinen Dissens also wieso regst du dich auf ? Nur, weil ich HIER die Klammer nicht setze, bedeutet das nicht, dass ich am Taschenrechner genauso vorgehe. Und die minimalen abweichungen auf die dezimalstellen geben bei uns keinen punkteabzug. ich weiss was die lehrerin verlangt, das ist ihr nicht so wichtig. es geht um den richtigen lösungsweg und um die ungefähr richtige lösung. das muss nicht auf die kommastelle genau sein.

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14:06 Uhr, 18.06.2012

Ich rege mich nicht auf!
Bei mir wurde noch

α = 63,

° angezeigt. Und das geht nicht als ungefähr richtig durch.

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14:07 Uhr, 18.06.2012

Nochmal:

α :

89,9°

a :

59,3cm

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14:11 Uhr, 18.06.2012

Ich habe

α = 90,06

° und

a = 59,4

cm, also ok.

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14:12 Uhr, 18.06.2012

Jetzt fehlt nur noch der Winkel

δ

.
Diesen unterteilen wir in 2 Teile.

Ich rechne jetzt

δ 1

aus.

sin δ 1 = \frac{q}{a}

Und dann rechne ich

δ 2

aus.

sin δ 2 = \frac{p}{b}

Zum Schluss addiere ich beide Teile von

δ

und erhalte den vollständigen Winkel.

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14:17 Uhr, 18.06.2012

Ist richtig.
Mittlerweile ginge es auch anders:

δ = β = (360

°-alpha-gamma)/2

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14:18 Uhr, 18.06.2012

Aaah, der ist noch besser, Danke :-)

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14:21 Uhr, 18.06.2012

δ

und

β =

86,46°

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14:24 Uhr, 18.06.2012

Paast!

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14:25 Uhr, 18.06.2012

Und die Fläche beträgt 3314cm²

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14:28 Uhr, 18.06.2012

Ja,

A = 3318 {(c m)}^{2}

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18:34 Uhr, 18.06.2012

Nun das zweite Deltoid.

Gegeben sind:

a : 71 m

b : 46 m

α

:46°

Zuerst rechne ich

p

aus.

\frac{cos α}{2} = \frac{p}{a}

\frac{cos α}{2} \cdot a = p

Dann will ich

\frac{f}{2}

haben.

\frac{sin α}{2} = \frac{\frac{f}{2}}{a}

\frac{sin α}{2} \cdot a = \frac{f}{2}

Dann möchte ich

γ

\frac{sin γ}{2} = \frac{\frac{f}{2}}{b} -

Ergebnis

\cdot 2

ist

sin γ

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19:17 Uhr, 18.06.2012

Der komplette Plan ist so richtig, nur der Schluß ist wieder falsch:

"Ergebnis

\cdot 2

ist

sin γ

"
Nein, sondern Ergebnis für

\frac{γ}{2}

multipliziert mit 2 ergibt

γ

.

Ist es wirklich zuviel verlangt, wenn ich Dich bitte,

sin (\frac{γ}{2})

zu schreiben? Nur "(" vor

\frac{γ}{2}

und ")" dahinter!

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19:31 Uhr, 18.06.2012

was bekommst du denn raus

?

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19:43 Uhr, 18.06.2012

Meine Ergebnisse:

p = 65,4 m

γ =

74,05°

δ = β =

119,93°

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19:48 Uhr, 18.06.2012

f = 55,4 m

e = 102,1 m

A =

2828m²

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23:04 Uhr, 18.06.2012

Gut!
Bis auf die üblichen Rundungsfehler stimmt alles.

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11:22 Uhr, 21.06.2012

Danke !

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