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Der Fluss einer Differentialgleichung

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Sonstig, Stetigkeit

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

06:01 Uhr, 07.12.2018

Antworten
Hallo,

wie kann ich folgendes zeigen? Ich weiß es leider nicht :(
Kann jemand helfen?

Sei f:RnRn lipschitz stetig mit der Eigenschaft, dass f(x+k)=f(x) für alle kZ.

Zeigen Sie, dass für den Fluss φ:DRn von x'(t)=f(x(t)) gilt, dass φt(x+k)=φt(x)+k für alle kZ,(t,x)D

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
HAL9000

HAL9000

06:54 Uhr, 07.12.2018

Antworten
Wie addierst du zu einem n-dimensionalen Vektor xn eine ganze Zahl k ???

Irgendwas stimmt da nicht, entweder bei k oder beim Definitionsbereich von f.

Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

08:05 Uhr, 07.12.2018

Antworten
kZn
entschuldige

Mein Vorschlag wäre der Folgende, aber ich weiß nicht ob er an einer Stelle richtig ist:

Aufgrund der Lipschitzstetigkeit von f folgt zunächst die Eindeutigkeit des AWP x'(t)=f(x(t)) mit x(t0)=x0. Daraus können wir schließen, dass dass die DGL x'(t)=f(x(t)) eindeutige Lösungen besitzt, und dass der Fluss φ:DRn wohldefiniert ist.
Für den Fluss von x'(t)=f(x(t))=f(x(t)+k) gilt
φt(x+k)
=φ(t,0,x+k)
=φ(t+0,x+k)
=φ(t,φ(0,x+k)) Nach Vorausetzung gilt:
=φ(t,φ(0,x))+k (Hier weiß ich nicht, ob ich das k einfach rausziehen kann??)
=φ(t,x)+k
=φt(x)+k

q.u.e.d.
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