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Der Gradient als Normalenvektor?

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gradient einer Funktion, Partielle Differentialgleichungen, Tangentialebene

Rev21 aktiv_icon

08:25 Uhr, 04.10.2009

Hallo zusammen,

Ich habe hier ein Verstaendnisproblem mit dem Gradienten.

Und zwar habe ich versucht mithilfe des Gradienten die Tangentialebene an ein "Gebirge" im

R 3

an einem bestimmten Punkt zu errechnen.

In meinem Lehrbuch ist es so dargestellt, als waere der Gradient gerade der Normalenvektor dieser Tangetialebene. Was allerdings nicht sein KANN, da der Gradient einer Funktion der Form (bspw.:-)

f (x, y) =

ax^2

+

bx^2 nur 2 Komponenten besitzt,

d . h

. die Form eines Vektors im

R 2

hat.

Jetzt bin ich ganz verwirrt. Wie soll ich mir den Gradienten im

R 3

vorstellen? "Liegt" er bildlich als Vektor in der

x 1, x 2 -

Ebene ?
Und wie kann ich mithilfe des Gradienten den Normalenvektor der Tangetialebene bestimmen?

Vielen Dank im Vorraus fuer Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

23:22 Uhr, 04.10.2009

Hi,

der Gradient selber kann nicht der Normalenvektor auf der Tangentialebene im

ℝ^{3}

sein, da er (wie du ja richtig bemerkt hast) zweidimensional ist. Soweit ich noch weiß ist der Gradientenvektor ein Vektor im Urbildbereich, der zum einen senkrecht auf den Niveaulinien steht und in die Richtung des stärksten Anstiegs zeigt. Dein Urbildbereich ist ja zweidimensional und da passt es dann wieder...

Ich kann dir nur etwas unter Vorbehalt sagen, ich bin mir da aber nicht hunderprozentig sicher... Meiner Meinung nach wird der gradientenvektor einfach verlängert, d.h. man berechnet

\nabla f = (\frac{d f}{d x}, \frac{d f}{d y})

und macht daraus dann den Vektor

(\frac{d f}{d x}, \frac{d f}{d y}, 1) \in ℝ^{3}

und dieser würde dann senkrecht auf der Tangentialebene stehen...

Gruß
Sina

Rev21 aktiv_icon

12:36 Uhr, 05.10.2009

Okay danke, dann stimmt es schonmal, dass der Gradient nur im

x 1, x 2

liegt.
Warum jetzt aber die dritte Komponente des Normalenvektors immer gleich 1 sein soll, kann ich noch nicht wirklich nachvollziehen. das haengt doch von der Ebene an, oder nicht?

Rentnerin

17:48 Uhr, 05.10.2009

Hallo,

ist

U \subset R^{2}

offen und

f : U \to R

(x_{0}, y_{0}) \in U

differenzierbar, dann hat das erste Taylorpolynom von

f

an der Stelle

(x_{0}, y_{0})

die Gestalt

z = T_{1} (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(x_{0}, y_{0})} \cdot (x - x_{0}) + {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(x_{0}, y_{0})} \cdot (y - y_{0})

.

Der Graph dieses Taylorpolynoms ist Deine Tangentialebene und hieraus folgt:

{\frac{\partial f}{\partial x}}_{(x_{0}, y_{0})} \cdot x + {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(x_{0}, y_{0})} \cdot y - z = {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(x_{0}, y_{0})} \cdot x_{0} + {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(x_{0}, y_{0})} \cdot y_{0} - f (x_{0}, y_{0})

.

Als Normalenvektor erhältst Du damit

\vec{n} = ({\frac{\partial f}{\partial x}}_{(x_{0}, y_{0})}, {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(x_{0}, y_{0})}, - 1)^{T}

.

Gruß Rentnerin

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