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Der Körper F2 und ein Polynomring über F2

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Charakteristik, elemente bestimmen, f2, Ideal, Polynomring

Finchen503 aktiv_icon

19:45 Uhr, 19.05.2011

Hallo!
Ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht klar. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Sei

F_{2} = {\bar{0}, \bar{1}}

der Körper mit 2 Elementen und

F_{2} [x]

der Polynomring über

F_{2}

a)

Zeigen Sie, dass I:=

(x^{2} + x + \bar{1}) \cdot F_{2} [x] := {(x^{2} + x + \bar{1}) \cdot p (x) \in F_{2} [x]}

ein Ideal in

F_{2}

ist.

b)

Bestimmen Sie die Elemente von

\frac{F_{2} [x]}{I}

c)

Bekanntlich ist

\frac{F_{2} [x]}{I}

ein kommutativer Ring. Zeigen Sie, dass

\frac{F_{2} [x]}{I}

sogar ein Körper ist. Welche Charakteristik hat er?

Mein erstes Problem besteht schon darin, dass ich nicht genau weiß, was die Definition von einem Polynomring ist. Davon steht nichts in unserem Skript und die Definitionen, die im Internet stehen habe ich nicht genau verstanden. Wie kann ich mir so ein Ring denn vorstellen?!

MfG,
Finchen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ericsatie76 aktiv_icon

20:24 Uhr, 19.05.2011

Hallo,

eine Polynomring ist einfach die Menge aller Polynome auf der die Verknüpfungen

\cdot

und

+

definiert mit folgenden Eigenschaften definiert sind:

(F [x], +)

ist eine abelsche Gruppe,

d . h

. eine kommutative Gruppe

(F [x], \cdot)

ist eine Halbgruppe
zudem gilt das Distributivgesetzt.

Halbguppe bzgl.

\cdot

heißt:

Nimmst Du drei beliebige Polynome

a (x), b (x), c (x),

dann muss

(a (x) \cdot b (x)) \cdot c (x) = a (x) \cdot (b (x) \cdot c (x))

gelten.

kommutative Gruppe bzgl.

+

heißt,

Es gilt das Assoziativgesetz wie bei

\cdot,

also für drei Polyome

a (x), b (x), c (x)

gilt:

(a (x) + b (x)) + c (x) = a (x) + (b (x) + c (x))

Es existiert ein Neutralelement, so dass für eine beliebiges Polynom

p (x)

p (x) + e (x) = p (x)

mit

e (x) = \bar{0}

ist das ja schon gegeben.

Und es existiert eine Neutralelement

p {(x)}^{- 1},

so dass

p (x) + p {(x)}^{- 1} = e (x)

kommutativ heißt, für zwei Polynome

a (x)

und

b (x)

gilt

a (x) + b (x) = b (x) + a (x)

Distributivgesetzt, für drei Polynome

a (x), b (x)

und

c (x)

gilt

a (x) (b (x) + c (x)) = a (x) \cdot b (x) + a (x) \cdot c (x)

bzw.

(a (x) + b (x)) c (x) = a (x) \cdot c (x) + b (x) \cdot a (x)

to be continued...

Finchen503 aktiv_icon

22:36 Uhr, 22.05.2011

Danke die Erklärung ist wirklich ausführlich und hilfreich. Aufgabe

a)

hab ich nun fertig, aber bei

b)

und

c)

komme ich nicht voran...

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