 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Der Satz von Schröder-Bernstein
Der Satz von Schröder-Bernstein
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Bijektivität, Funktion, Mengenlehre, Reelle Zahlen
 
|
  |
|---|
|
Hallo, ich habe folgende Frage zum Beweis des Schröder-Bernstein Satzes. Und zwar ist das hier eine etwas neuere Beweisführung, die sich mir noch nicht erschlossen hat. Der Satz lautet: Wenn jede von zwei Mengen und injektiv in die jeweils andere abgebildet werden kann, dann existiert eine Bijektion von auf das heißt, es gilt IMI = INI. Der Beweis: Annahme: und sind disjunkt. 1. Schritt: Wir ordnen die Elemente von und in übersichtlichen Ketten an. Dabei beginnen wir mit dem Element Element und erzeugen daraus eine Kette von weiteren Elementen, indem wir anwenden und dann dann wieder und dann und so weiter. Jetzt können wir folgende 4 Fallunterscheidungen vornehmen, wobei jeweils immer nur einer der 4 Fälle beliebig oft auftreten kann. Fall: Die Kette kann sich schließen, wenn wir in diesem Prozess wieder auf stoßen. . wir haben endliche Zyklen auf verschiedenen Elementen größer/gleich mk nk Fall: Wenn die Kette unendlich weiter geht dann versuchen wir sie rückwärts zu verfolgen, . wenn wir von aus gehen, gehen wir zu wenn im Bild von liegt, dann zu wenn im Bild von liegt und so weiter. . also, in beiden Richtungen befinden sich unendliche Ketten aus lauter verschiedenen Elementen: . Fall: Das Zurückverfolgen kann auch in einem Element von aufhören. . wir haben unendliche Ketten von verschiedenen Elementen, die in einem Element Element beginnen: . Fall: Das Zurückverfolgen kann auch in einem Element von aufhören. . wir haben unendliche Ketten von verschiedenen Elementen, die in einem Element Element beginnen: . Meine Feststellung: Da die Abbildungen und injektiv und somit auch die Bildungsvorschrift mi ni injektiv ist und die komplette Vereinigungsmenge von und ja vollständig in 4 verschiedene Teilmengen zerlegt wurde, muss die Bildungsvorschrift mi ni auch surjektiv sein und damit auch bijektiv. Meine Frage nun: Um diesen Beweis vorzuführen, muss ich ja für jeden Fall die Injektivität und Surjektivität aufzeigen, wie gerade folgt: Injektivität: Es gilt die Injektivität: denn zu jedem aus existiert höchstens ein aus mit . es werden keine verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element abgebildet. Bei der injektiven Funktion zwischen endlichen Mengen, muss mindestens genauso viele Elemente wie haben, es gilt also IMI größer/gleich INI. Surjektivität: Es gilt auch die Surjektivität: Element Existiert ein Element denn jedes Element der Zielmenge wird mindestens einmal als Funktionswert angenommen, . es gibt mindestens ein Urbild. Für die Mächtigkeit gilt, ist nun eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann höchstens so viele Elemente wie haben, es gilt also IMI kleiner/gleich INI. Da injektiv und surjektiv sind, wird die Funktion als Bijektion beschrieben, . es gilt IMI = INI. Kann man bei den Fällen hier noch Fallunterscheidungen machen, ich würde hier für jeden Fall die gleiche Aussage treffen, die ich gerade beschrieben habe. Was sagt ihr dazu, mein mathematischer Blick hat sich hier noch nicht weiter geöffnet. Vielen Dank denen die mir ein paar Tipps geben. Lg Cornelia Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Das ist so nicht ganz korrekt und du verwechselst teilweise die Schreibweisen. Also: Gegeben sind injektive Abbildungen und . Was wir suchen, ist eine bijektive Abbildung (bzw. der Einfachheit halber zwei Abbildungen und mit und . Zerlege wie beschrieben in disjunkte maximale Ketten. Zu definiere wie folgt: Falls in einer Kette liegt, die mit einem Element von beginnt, folgt insbesondere, dass nicht der Kettenanfang ist, also im Bild von liegt; setze . In allen anderen Fällen setze . Zu definiere wie folgt: Falls in einer Kette liegt, die mit einem Element von beginnt, setze . In allen anderen Fällen kann nicht der Anfang der Kette sein, also könenn wir setzen. Die Definitionen von sind derart, dass stets ni derselben Kette wie liegt, ebenso für und . Daher gilt stets nämlich entweder oder . Ebenso zeigt man für alle . |
 |
|
Hallo Hagman, danke für deine Antwort. Jedoch habe ich noch ein paar Fragen dazu? Ich habe nämlich erwartet, dass ich in den Fällen jeweils Injektivität und Surjektivität aufzweigen muss, aber nach deiner Antwort scheint das ja nicht nötig zu sein. Ja mit den Definitionen habe ich mich verschrieben, da hast du recht. Aber was meinst du mit F∘G=IdN und G∘F=IdM? Die Verknüpfungen der Mengen sind klar. Aber was heißt IdN und IdM? Entnehme ich deinen folgenden Beschreibungen, dass du damit die ganzen Fälle definiert hast, und zwar?: Zu m∈M definiere F(m)∈N wie folgt: Falls in einer Kette liegt, die mit einem Element von beginnt, folgt insbesondere, dass nicht der Kettenanfang ist, also im Bild von liegt; setze . gilt hier Fall 4? In allen anderen Fällen setze . hier gilt Fall 3? Zu n∈N definiere G(n)∈M wie folgt: Falls in einer Kette liegt, die mit einem Element von beginnt, setze . In allen anderen Fällen kann nicht der Anfang der Kette sein, also könenn wir setzen. hier beschreibst du Fall . also die Kette kann rückwärts verfolgt werden? Die Definitionen von sind derart, dass stets ni derselben Kette wie liegt, ebenso für und . Daher gilt stets nämlich entweder oder . Ebenso zeigt man für alle n∈N. Wo wäre denn der Fall, dass ich eine zyklische Kette habe bzw. Fall die Kette schließt sich wieder bei ? Oder ist mit deiner Beweisführung am Ende dies auch abgehackt? Ich hoffe ich liege nicht allzu verkehrt. Gruß Cornelia. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
625400
624767