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Der Satz von Stokes

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

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16:07 Uhr, 01.02.2018

Hallo alle zusammen ich habe die folgende Aufgabe siehe Bild. Die eine seite habe ich problemlos berechnet also die seite wo keine Rotation auftaucht bekomme ich

- π

.
Aber mit der anderen seite habe ich iwie probleme kann mir einer helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:20 Uhr, 01.02.2018

Hallo,

bei der anderen Seite handelt es sich um ein Flussintegral der Rotation über die Halbkugel-Oberfläche.

- Wie sieht die Rotation von

V

aus?
- Wie ist ein Flussintegral (vielleicht habt Ihr das anders genannt, Integral 2. Art?) definiert.
- Welche Parametrisierung kennst Du für die Halbkugel-Oberfläche?

Gruß pwm

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19:02 Uhr, 01.02.2018

Hi,

ich habe hier eine Lösung mit dieser kann ich nichts anfangen leider.

rot(V)=

(\begin{matrix} x_{1} + x_{2} \\ - x_{2} \\ - 2 x_{1} - 1 \end{matrix})

. Ich habe einfach das Problem das ich meistens nicht weiß wie ich vorgehen soll.. Wenn es um rechnen geht ist das ja kein Problem. Es wurde einmal in der übung auch det(rot(v),DF) berechnet. Das ist doch kein Integral 2.Art bin etwas verwirrt..

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11:58 Uhr, 02.02.2018

bist du noch da ?

pwmeyer aktiv_icon

11:59 Uhr, 02.02.2018

Hallo,

aus der Lösung geht nur hervor, was rot(V) ist und welche Parametrisierung gewählt worden ist - welche nämlich?. Du wirst nur weiterkommen, wenn Du die Definition eines Flussintegrals mit Euren Bezeichnung nachschlägst und diese auf dieses Problem anwendest.

Gruß pwm

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12:16 Uhr, 02.02.2018

Hallo,

ein Oberflächenintegral der 2. Art berechnen wir so : det(rot(v), DF) also das wäre dann der Integrand. Die parameterisierung ist in zylinderkoordinaten das heißt aus

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \sqrt{1 - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} \end{matrix})

folgt

(\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ \sqrt{1 - r^{2}} \end{matrix})

wenn ich davon die Partielle Ableitung bilde komme ich auf das richtige Ergebnis..
auf

\sqrt{1 - r^{2}}

komme ich so:

\sqrt{1 - {(r \cdot cos (φ))}^{2} - {(r \cdot sin (φ))}^{2}} = \sqrt{1 - r^{2}}

wenn ich nun det(rot(V),DF) berechne komme ich auf :

= (- 2 r \cdot cos (φ) - 1) \cdot r + \frac{r}{\sqrt{1 - r^{2}}} (r^{2} \cdot ({cos (φ)}^{2} + sin (φ) cos (φ) - {sin (φ)}^{2}))

ist das richtig ? kann ich das irgendwie vereinfachen ?

pwmeyer aktiv_icon

17:26 Uhr, 02.02.2018

Hallo,

ja, wenn Du jetzt zunächst über

φ

integrierst erhältst Du die Lösung.

Gruß pwm

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17:29 Uhr, 02.02.2018

Okay danke :-) eine frage habe ich noch warum ist bei der parameterisierung von der linken seite der Radius 1 aber die höhe also

x 3 = 0

?
Muss

x_{3}

nicht auch 1 sein?

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 02.02.2018

Es handelt sich doch um den Rand der Halbkugel. Dieser Rand liegt in der x-y-Ebene, also ist

z = x_{3} = 0

.

Gruß pwm

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17:41 Uhr, 02.02.2018

Eine letzte frage noch, ich verstehe nicht warum in dieser Menge der Radius gleich 2 ist

: (

pwmeyer aktiv_icon

17:49 Uhr, 02.02.2018

Weißt Du denn, um welche Fläches es sich handelt?

Wenn nicht, hilft es oft

- Polarkoordinaten zu verwenden
- Einen Schnitt von Omega mit den einzelnen Koordinatenebenen zu betrachten, zum Beispiel

x_{2} = 0

oder

x_{1} = 0

oder

x_{3} = 1 . .

.

ABer das ist eine neue Aufgabe. Wenn Du mehr Hilfe brauchst, solltest Du einen neuen Thread aufmachen.

Gruß pwm

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17:56 Uhr, 02.02.2018

Das sollte eigentlich nur eine kurze frage sein

: (

Wenn ich in Polarkordinaten umwandel :

r^{2} = 2 h

mit

h = 2

folgt

r^{2} = 4

r = 2

Ist es deswegen ?

: (

anonymous

21:19 Uhr, 03.02.2018

Was ist denn genau dein Problem in der Aufgabe steht doch drin was du machen sollst da ist es doch total egal ober der radius

r = 2

oder

r = 1666

oder sonst was ist. Der Prof hat es so in der Aufgabe definiert oder festgelegt.

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