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Der Summenwert einer unendlich geometrischen Reihe
Schüler
Tags: Partialdivision
 
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Hallo an alle Mathematiker unter euch, ich komme mit einem Ergebnis in meinem Mathebuch nicht klar! Die Aufgabe lautet: Bestimme den Summenwert der folgenden unendlichen geometrischen Reihe: Mit einem Taschenrechner wird das Ergebnis in dezimaler Form angezeigt. Als Ergebnis erhalte ich . In meinem Mathebuch hingegen steht als Ergebnis . Ich weiss einfach nicht, wie dort das Ergebnis zustande kam. Selbst wenn ich eine Partialdivision mit vornehme, erhalte ich jedes Mal einen Restwert von und dreh' mich weiter nur im Kreise. Weiss jemand von euch, wie das oben stehene Ergebnis zustande gekommen ist? Über eine Lösung wäre ich sehr dankbar! Michael |
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Du hast ja sicher bereits bemerkt, dass die numerischer Auswertung deiner Lösung und jener deines Mathe-Buchs gleich sind. Deine Lösung ist also durchaus korrekt und richtig. Im Schulbereich wird allerdings oft eine 'Vereinfachung' des Endergebnisses erwartet/gefordert und auch wenn man geteilter Meinung sein kann, in welchem Sinn das Buch-Ergebnis als "einfacher" angesehen werden kann, so ist es doch oft üblich, Brüche so umzuformen, dass der Nenner rational ist, also keinen Wurzelausdruck mehr enthält. Du kannst also dein Ergebnis mit dem Ausdruck erweitern. Dann kannst du noch mit 3 kürzen und solltest nach Ausmultiplizieren des Zählers genau das Buchergebnis vor dir sehen. Manch einer würde vielleicht den vorletzten Ausdruck mit der ausgeklammerten 3 als "bestmöglich vereinfacht" betrachten. "Vereinfachung" ist also auch eine Frage der persönlichen Präferenz bzw. hängt davon ab, wofür man das Ergebnis dann weiter benutzen möchte oder muss (bei dieser Aufgabe vermutlich für gar nix). |
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Hallo Roman-22, Mensch, recht herzlichen Dank für die schnelle Beantwortung meiner Frage! Auf die Erweiterung mit bin ich nicht gekommen. Aber deine Herleitung einer Lösung dieses Problems wird mir bestimmt noch weiterhin nützlich sein, denn es wäre noch die Aufgabe zu lösen, mit dem Mathebuch-Ergebnis Also, danke nochmals für den Hinweis einer Erweiterung mit Michael |
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Übrigens, Roman-22, ist deine Methode eines Erweiterungsterms mit einem entgegengesetzten Vorzeichen ein wirklich probates Mittel, den Nenner eines Bruches entweder zu vereinfachen oder gar ganz zu beseitigen. Ich werde zukünftig mehr darauf achten! Michael |
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Übrigens, Roman-22, ist deine Methode eines Erweiterungsterms mit einem entgegengesetzten Vorzeichen ein wirklich probates Mittel, den Nenner eines Bruches entweder zu vereinfachen oder gar ganz zu beseitigen. Wenn der Nenner eine Summe (oder auch Differenz) von zwei Summanden ist und einer oder beide davon eine Quadratwurzel, dann ja. Dann kann man die dritte binomische Formel nutzen um den Nenner rational zu machen. Besteht der Nenner aus einer einzigen Quadratwurzel, dann erweitert man eben mit genau dieser, wie zB bei |
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Hallo Roman-22, danke für deinen Hinweis bezüglich eines Erweiterungsterms! Morgen werde ich mich an diese Aufgabenstellung, die ich oben schon beschrieben habe, daran machen. Einen Teil, wie man an die Aufgabe rangehen sollte, konntest du mir ja schon zeigen. Der Vollständigkeit halber möchte ich dir aber noch ein Beispiel aus der Elektrotechnik zeigen, wo auch hier ein Erweiterungsterm mit entgegengesetztem Vorzeichen angewandt wird. Hier soll die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses 1. Ordnung ermittelt werden: Mit einem Erweiterungsterm wird aus 1/(1+jwRC) eine Funktion (1-jwRC)/(1+jwRC)(1-jwRC). Hier wird tatsächlich die 3. binomische Formel angwandt, also und mit wird aus der Übertragungsfunktion (1-jwRC)/(1+(wRC)^2 na, usw. Also, ich wollte dir damit nur zeigen, wie hilfreich auch bei anderen Aufgabenstellungen ein Erweiterungsterm sein kann. Aber ich schweife von meiner ursprünglichen Frage ab. Also, habe recht vielen Dank für den Aha-Effekt mit dem Erweiterungsterm! Michael |
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Ja, wenn man komplexe Zahlen dividieren möchte ohne auf die Exponentialform ((r,phi)-Darstellung, Versorform, umzurechnen (was in allgemeiner Schreibweise mit und auch recht lästig wäre), muss man eben mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitern. Ist das gleiche Prinzip, wenn man als sieht. |
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So, nun habe ich diese Aufgabe mit Hilfe eines Erweiterungsterms lösen können. Dazu errechne ich zu allererst mal den Quotienten zweier benachbarter Glieder dieser oben stehenden Reihe, also . B. . Mit dem gefundenen Quotienten kann ich dann den Summenwert der unendlichen geometrischen Reihe ermitteln. Es ist . Nun wende ich die Methode des Erweiterungsterms zur Bildung einer 3. binomischen Formel an. Dann wird daraus . Wenn ich die Klammern im Zähler und Nenner ausmultipliziere, dann erhalte ich damit bzw. also und somit das endgültige Ergebnis lt. meines Mathebuches . |
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Es führen oft unterschiedliche Wege zum Ziel. Ich hätte die Brüche vermieden, anstelle von den Ausdruck verwendet und gleich zu Beginn mit erweitert, also |
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Ja, stand sofort auf meinem Blatt. Ich hätte tatsächlich diesen Bruch mit erweitern können. Aber ich probierte noch weitere Lösungen aus. Auch die Darstellung mit einem Wurzelexponenten und dessen Kehrwert habe ich mir angeschaut. Letztendlich wollte ich dann doch eine schlüssige Lösung für dieses Portal schreiben und so blieb es halt bei . Das Ganze könnte man sich ohnehin sparen, wenn man von vornherein einen Taschenrechner dazu benutzt. Dann braucht man nicht den Umweg über einen Erweiterungsterm zu machen. Aber das Mathebuch ist halt von und da war ein Taschenrechner noch eine Seltenheit. Zumal die dort aufgeführten Mathematiker schon weitestgehend verstorben waren und deren Matheaufgaben aus einer Zeit stammen, als es weder einen Taschenrechner geschweige denn einen Computer gab. Die Logarithmen und Wurzellösungen mussten damals noch mühsam aus damaligen Tabellenbüchern herausgesucht werden. Aber danke für deinen Einwand. Ich glaube aber trotzdem, damit wäre meine Frage wohl hinreichend beantwortet worden. Michael |
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