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Der freie fall-Rechenaufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: freie Falll

anonymous

10:01 Uhr, 26.02.2011

Ein schwerer Stein fällt in einen

17,0 m

tiefen Brunnen. Nach welcher Zeit hört man oben den Aufschlag, wenn die Schallgeschwindigkeit

340 \frac{m}{s}

ist?
Wie tief ist der Brunnen, wenn man den Aufschlag nach

2,00 s

hört?

also ich hab zuerst die Zeit

t

ausgerechnet:

s=0,5*g*t²

t 1 = 1,86 s

und dann

s = v \cdot t

17,0 \frac{m}{340} \frac{m}{s} = t

t 2 = 0,05 s

und dann hab ich

t 1

und

t 2

addiert

also

1,91 s

und bei der zweiten frage komme ich nicht weiter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Shipwater aktiv_icon

10:25 Uhr, 26.02.2011

t_{1} + t_{2} = 2 sec

\sqrt{(\frac{2 s}{g})} + \frac{s}{v_{s}} = 2 sec

g = 9,81 \frac{m}{s^{2}}

und

v_{s} = 340 \frac{m}{s}

sind bekannt, also kannst du

s

ermitteln.

Gruß Shipwater

DmitriJakov aktiv_icon

10:39 Uhr, 26.02.2011

t_{1}

ist die Zeit bis zum Aufschlag:

s = \frac{1}{2} {g t}_{1}^{2}

t_{2}

ist die Zeit, die der Schall nach oben benötigt:

s = v \cdot t_{2}

wobei

v

hier die lokale Schallgeschwindigkeit ist.

t = t_{1} + t_{2}

ist die Zeit, die vergeht, bis man nach dem loslassen des STeins den Aufprall hört. Also: beide Gleichungen nach

t

auflösen:

Gleichung

1 :

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{1}^{2} | \cdot 2 | \div g

t_{1}^{2} = 2 \frac{s}{g}

t_{1} = \sqrt{2 \frac{s}{g}}

Gleichung

2 :

s = v \cdot t_{2}

t_{2} = \frac{s}{v}

Insgesamt:

t_{1} + t_{2} = t = \sqrt{2 \frac{s}{g}} + \frac{s}{v}

Bei

s = 17 m, g = 9,81 \frac{m}{s^{2}}

und

v = 340 \frac{m}{s}

wird

t : \sqrt{2 \cdot \frac{17}{9,81}} + \frac{17}{340} = 1,91 s

Zur 2. Frage: Nun muss obige Gleichung nach

s

umgestellt werden.

t = \sqrt{2 \frac{s}{g}} + \frac{s}{v}

t = \sqrt{\frac{2}{g}} \cdot \sqrt{s} + \frac{1}{v} \cdot s

\frac{1}{v} \cdot s + \sqrt{\frac{2}{g}} \cdot \sqrt{s} - t = 0

Das sieht jetzt schon fast wie eine quadratische Gleichung aus. Substituiert man noch

\sqrt{s}

durch

z,

dann wird daraus:

\frac{1}{v} \cdot z^{2} + \sqrt{\frac{2}{g}} \cdot z - t = 0

Jetzt eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden und

z_{1; 2}

ermitteln, danach rücksubstituieren, also

s = z^{2},

und man hat das Ergebnis.

anonymous

11:11 Uhr, 26.02.2011

also ich hab für

z 1

150 m

und für

z 2

4,43 m

das ist irgendwie komisch

Shipwater aktiv_icon

11:15 Uhr, 26.02.2011

Mein Rechner gibt

s \approx 18,56 m

DmitriJakov aktiv_icon

11:25 Uhr, 26.02.2011

Jepp, hab ich auch raus... mit Papier und Stift, pq-Formel und Windows Taschenrechner :-D)

anonymous

11:44 Uhr, 26.02.2011

www.abload.de/img/001wm07.jpg

was hab ich dann falsch gemacht

Shipwater aktiv_icon

12:06 Uhr, 26.02.2011

Es heißt doch

- b \pm . .

. bei der abc-Formel. Ansonsten hast du halt leichtsinnig gerundet...

DmitriJakov aktiv_icon

12:13 Uhr, 26.02.2011

Erster Fehler: Die Lösungsformel lautet

- b \pm \sqrt{...}

usw.
Zweiter Fehler:

4 a c = 4 \cdot \frac{1}{v} \cdot (- t)

so weit war es noch richtig

= 4 \cdot \frac{1}{340} \cdot (- 2)

so weit auch. Aber dann wurde es krawotisch ;-)

In Deiner Lösung wurde aus

\frac{4}{340}

der Wert

0,01

was bereits ziemlich stark gerundet ist, bedenkt man die sonstigen Werte in dieser Wurzel. Aber dann wurde ein Vorzeichenfehler gemacht:

\sqrt{0,2 - 0,01 \cdot (- 2)}

wurde zu

\sqrt{0,18}

anstatt

\sqrt{0,22}

Hätte man mit dem zwar stark durch Rundung verzerrten, aber zumindest richtig addierten Wurzel fortgesetzt, dann wäre herausgekommen:

\frac{- 0,45 \pm \sqrt{0,22}}{0,0058} = \frac{- 0,45 \pm 0,47}{0,0058}

z 1 = - \frac{0,92}{0,0058} = - 158

z 2 = \frac{0,02}{0,0058} = 3,45

und

z 2^{2} = {3,45}^{2} = 11,9

Das ist zwar bereits fast

50 %

von

18

Metern entfernt, aber geht zumindest trotz der heftigen Rundungen in die richtige Richtung.

anonymous

14:19 Uhr, 26.02.2011

Oh ok, ich glaub ich habs verstanden

Shipwater aktiv_icon

14:21 Uhr, 26.02.2011

Dein Lösungsweg war ja auch fast schon richtig, nur solltest du nicht so leichtsinnig runden. Das kann sich extrem auf das Endergebnis auswirken. Am besten so lange wie möglich mit Brüchen bzw. den exakten Werten rechnen.

uwe39 aktiv_icon

18:42 Uhr, 26.02.2011

Hallo Whoops,
ich fand die Aufgabe so interessant, dass ich sie im Nachhinein durchgerechnet habe, obwohl sie bereits als beantwortet gekennzeichnet ist. Die vielzahligen Antworten führten nämlich bei mir dazu, dass der Lösungsweg zur Ermittlung der Brunnentiefe nur mit einiger Mühe nachzuvollziehen war. Nun mein etwas abgekürzter Rechengang:

gegeben sind:
t_ges = t_Fall

+

t_Schall

= 2 sec

t_Schall = t_Ges - t_Fall
v_Schall

= 340 \frac{m}{sec}

Die Wegstrecke für den Fall (s_Fall) entspricht der Wegstrecke für den Schall (s_Schall).
s_Fall

= (\frac{1}{2}) \cdot g \cdot

t²_Fall und
s_Schall = v_Schall

\cdot

t_Schall

daraus folgt:
s_Fall = s_Schall

(\frac{1}{2}) \cdot g \cdot

t²_Fall = v_Schall

\cdot

t_Schall = v_Schall

\cdot (

t_Ges - t_Fall )

und die quadratische Gleichung

(\frac{g}{2} \cdot

v_Schall)

\cdot

t²_Fall

+

t_Fall - t_Ges

= 0

Zwischenergebnisse ohne aufgelistete Rechnung für
t_Fall

= 1,945 sec

und damit für
t_Schall

= (2 - 1,945) sec

Ergebnis für die Brunnentiefe mit Probe ( s_Fall = s_Schall )
s_Fall

= (\frac{1}{2}) \cdot g \cdot

t²_Fall

= 18,56 m

s_Schall = v_Schall

\cdot

t_Schall

= 18,70 m

Aus dieser Differenz errechnet sich eine gemittelte Brunnentiefe von etwa

s = 18,60 m

Hoffe, dass diese Zusammenfassung aus den bisher übermittelten Lösungswegen ein wenig verständlicher ist.

Das wars

860760

860506

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